二次函数典型题（二）图像与系数的关系

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示， 则下列结论：①c<0；②b>0；③4a+2b+c>0；④(a+c)2

【解析】 ①当x=0时，y=c，此时函数图像与y轴交点的坐标为(0， c).

由图像可知， 交点在x轴下方， 所以c<>

∴①正确.

②∵函数图像开口向下，

∴a<>

∴b=-2a>0.

∴②正确.

③∵函数图像关于x=1对称， x轴上x=2的点与原点关于x=1对称，

∴x=2时的函数值与x=0时的函数值相同， 即： 当x=2时， y=c<>

∴当x=2时， y=22a+2b+c=4a+2b+c<>

∴③不正确.

④∵当x=1时，y=a+b+c>0； 当x=-1时， y=a-b+c<>

∴(a+b+c)(a-b+c)<>

即[(a+c)+b][(a+c)-b]<>

从而(a+c)2-b2<>

∴(a+c)2<>

∴④正确.

【点评】 解决这类问题时，要注意一些特殊的值和公式， 如x=1，x=-1，x=0时，系数之间满足的关系， 顶点处y的取值情况， 根的判别式与图像和x轴交点的个数， 图像的开口方向 等， 这些都是解题的切入点. 稍微复杂些的就需要用到乘法公式，或者不等式的性质进行相应变化.