【知识点】函数（数与形的结合）

函数的定义：初中里是这样定义函数的：

设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数。(高中或者大学里面会学习到有多个类似于变量x这样的变量对应一个y值，这样的方程是多元函数。)

方程和函数均为等式，均含有未知数(变量)，但是不同之处在于函数至少有两个变量(x,y)而且每一个变量x的值都有唯一一个y值与它对应。

y=kx+b(k≠0),是一条过(0,b),(-b/k,0)两点的一条直线。图像如下f

其有如下对称性函数。

（1）关于x轴对称的图像的解析式为：y=-kx-b ，图像如下h

（2）关于y轴对称，则直线的解析式为 y=-kx+b，图像如下g

（3）关于直线y＝x对称，则直线的解析式为 y=x/k-b/k，图像如下k

（4）关于直线y=-x对称，则直线的解析式为 y=x/k+b/k, 图像如下i

（5）关于原点对称，则直线的解析式为y=kx-b, 图像如下j

（6）直线y=kx+a与直线y=lx+b互相垂直，则有k*l=-1

1）正比例函数y＝kx的图象是过原点（0，0）与点（1，k）的一条直线；

一次函数y＝kx＋b的图象是过（0，b）平行于y＝kx的一条直线。

常数k的几何意义是表示图象与x轴倾斜的程度，一次函数的图像中，k的绝对值越大,直线离横轴就越远，越靠近纵轴，与横轴的夹角越大。b表示图象在y轴上的截距．（b也表示直线与y轴交点的纵坐标）。

2）两个函数当k相同，表示两条直线平行，当两个函数的b相同（k不相同）表示两条直线与y轴交于同一点）直线y＝kx，y＝kx＋b所在位置与k、b的符号有直接的关系。

k＞0，直线必过一、三象限；

k＜0，直线必过二、四象限。

b＞0，直线与y轴正半轴相交；

b＝0，直线过原点；

b＜0，直线与y轴负半轴相交。

直线y＝kx＋b（k≠0）的位置与k、b符号的示意图如下：

3） 一次函数图象是直线，所以可称直线y＝kx＋b．直线y＝kx＋b均可由直线y＝kx平移而得。

4） 函数性质：k＞0时y随x增大而增大；　　k＜0时y随x增大而减小。

5） 一次函数均可设为y＝kx＋b（k≠0），这儿的k、b是待定系数。由已知条件列待定系数的方程、方程组，可解出k、b的值。

6） 两条直线的交点坐标，就是这两条直线解析式组成的方程组的解。

了解一次函数图象与x轴交点的坐标是令y＝0 ，与y轴交点坐标是令x＝0，求解得出交点的坐标。

7） 点在函数图像上，则点的坐标应满足该函数关系式，即把坐标代入函数关系式后两边相等；反之，若一个点的坐标满足函数关系式，则这个点必在函数图像上。

8） 两直线的位置关系

直线L1和L2的解析式分别为y=k1x+b1 和y=k2x+b2他们的位置关系可由其系数确定。

因为k1和k2 决定了直线的斜率，b1 和b2决定了直线在y轴上交点的位置。

（1）当k1≠k2时，两直线相交（两直线有且只有一个交点）

（2）当k1=k2，b1 ≠b2且时，两直线平行（两直线没有交点）

（3）当k1=k2，b1 =b2，两直线重合（两直线有无数个交点）

注意：在（1）中，可通过解方程组y=k1x+b1 和y=k2x+b2，求出交点坐标。

1、抛物线y=ax*x+bx+c(a≠0)

其有如下对称性函数

①关于x轴对称的图像的解析式为：y=-ax*x-bx-c

②关于y轴对称的图像的解析式为：y=ax*x-bx+c

③关于原点对称的图像的解析式为：y=-ax*x+bx-c

抛物线y=ax*x+bx+c的图像恒在 轴上方的条件是：a>0,?<>

图像恒在 轴下方的条件是：a<0,><>

a>0,开口向上，有最小值；

a<>

?>=0,则与X轴有交点，?<>

|a|还可以决定开口大小, |a|越大开口就越小, |a|越小开口就越大

2、二次函数的五种表达式：

①一般形式：y=ax*x+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)；

【已知二次函数图像上的三个点的坐标，带入到解析式中，用待定系数法求解，还原】；

②顶点形：y=a(x-h)(x-h)+k

【已知二次函数顶点的横坐标为h,纵坐标为k，还知道二次函数图像经过另一个点，并且知道该点的坐标，则带入到解析式求解】；

③两根形：y=a(x-x1) (x-x2)

【已知二次函数与x轴两个交点的坐标分别为x1, x2，并且知道图像经过另一个点的坐标，则带入求解】；

④对称形：y=a(x-x1) (x-x2) +m

【已知二次函数图像上两个对称点的坐标分别为(x1,m),(x2,m)，并且知道图像上另一个点的坐标，则可以利用此解析式带入求解】；

⑤平移形：将抛物线平移，解析式 中发生变化的只有顶点坐标，因此可先将原函数解析式化成顶点形式，再按照“左加右减，上加下减”的法则，即可得出所求函数解析式.

3、其他相关问题：

二次函数的图像是一条抛物线，是一个轴对称图形，其对称轴是直线x=-b/2a

当图像的开口向上时，函数有最小值；当图像的开口向下时，函数有最大值，其对应的数值可用顶点坐标公式来表示，二次函数的顶点坐标公式为

般来说，抛物线顶点的纵坐标就是函数的最大（或最小）值。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧。

常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c） ；

抛物线与x轴交点个数由 决定

Δ＞0时，抛物线与x轴有2个交点,

Δ=0时，抛物线与x轴有1个交点,

Δ＜0时，抛物线与x轴没有交点。

如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y；

如果对称轴是y轴，但不过原点，则y=ax2+c(a≠0,c≠0)

5、 抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)与y轴的交点为（0，c）。

反比例函数解析式为y=k/x反比例函数的图像为双曲线。从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。

当K＞0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数（即y随x的增大而减小）

当K＜0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数（即y随x的增大而增大）

.对于双曲线y=k/x，若在分母上加减任意一个实数 (即y=k/(x±m）m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）

注意：双曲线离原点越远k的绝对值越大；双曲线离原点越近k的绝对值越小

反比例函数与一次函数交点的坐标，就是两个函数解析式联立方程组的解，联立后方程组可转化成一元二次方程，通过解方程求解，如果 ，则两个图像没有交点，如果 ，则两个图像有两个交点。