函数值域求法十五种

 

 

在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。
基本知识
1.定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。
2.函数值域常见的求解思路：
⑴ 划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。
⑵ 反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。
⑶ 可以从方程的角度理解函数的值域，从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。
特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。
⑷ 可以用函数的单调性求值域。
⑸ 其他。

1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域
例1. 求函数的值域。
解：∵ ∴
显然函数的值域是：




2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例2. 求函数的值域。
解：将函数配方得：
∵
由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，
故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法



例3. 求函数的值域。
解：两边平方整理得：（1）
∵ ∴
解得：
但此时的函数的定义域由，得
由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵ ∴

∴代入方程（1）

解得： 即当时，
原函数的值域为：
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例4. 求函数值域。

解：由原函数式可得：

则其反函数为：，其定义域为：
故所求函数的值域为：

5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。




例5. 求函数的值域。

解：由原函数式可得：，可化为：
即
∵ ∴
即 解得：

故函数的值域为


6. 函数单调性法
例6. 求函数的值域。
解：令 则在[2，10]上都是增函数
所以在[2，10]上是增函数
当x=2时，
当x=10时，

故所求函数的值域为：


例7. 求函数的值域。
解：原函数可化为：
令，显然在上为无上界的增函数
所以，在上也为无上界的增函数
所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值
显然y>0，故原函数的值域为

7. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作
例8. 求函数的值域。

解：因

即
故可令
∴
∵
∴
∴
故所求函数的值域为

例9. 求函数的值域。

解：原函数可变形为：

可令，则有
∴
当时，
当时，
而此时有意义。
故所求函数的值域为

例10. 求函数，的值域。
解：

令，则
由 且
可得：
∴当时，，当时，
故所求函数的值域为。

例11. 求函数的值域。
解：由，可得
故可令

∵ ∴
当时，
当时，
故所求函数的值域为：

8. 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。[要学习网,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛，地址 www.yaoxuexi.cn 手机版地址 wap.yaoxuexi.cn]
例12. 求函数的值域。

解：原函数可化简得：y=|x-2|+|x+8|
上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B(-8)间的距离之和。
由上图可知，当点P在线段AB上时，y=|x-2|+|x+8|=|AB|=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=|x-2|+|x+8|>|AB|=10
故所求函数的值域为：

例13. 求函数的值域。
解：原函数可变形为：

上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和，
由图可知当点P为线段与x轴的交点时，，
故所求函数的值域为


例14. 求函数的值域。
解：将函数变形为：
上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B(-2,1)到点P(x,0)的距离之差。
即：y=|AP|-|BP|
由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P'，则构成△ABP'，根据三角形两边之差小于第三边，有
即：
（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有
综上所述，可知函数的值域为：

注：由例13，14可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。
如：例13的A，B两点坐标分别为：（3，2），(-2,-1)，在x轴的同侧；例14的A，B两点坐标分别为（3，2），(2,-1)，在x轴的同侧。

9. 不等式法
利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例15. 求函数的值域。
解：原函数变形为：

当且仅当tanx=cotx
即当时，等号成立
故原函数的值域为：

例16. 求函数y=2sinxsin2x的值域。
解：y=4sinxsinxcosx


当且仅当，即当时，等号成立。
由可得：
故原函数的值域为：

10. 映射法
原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。
例17. 求函数的值域。

解：∵定义域为

由得

故或

解得

故函数的值域为

11．最值法
对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。[要学习网,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛，地址 www.yaoxuexi.cn 手机版地址 wap.yaoxuexi.cn]
例18.已知,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。
解：∵，上述分式不等式与不等式同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得(-1≤x≤3/2),
∴且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。
当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。
∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。
点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。
12.构造法
根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
例19.求函数的值域。
点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
解：原函数变形为
作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=x,则EK=2-x,KF=2+x,,。
由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。
∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。
点评：对于形如函数(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。
13．比例法
对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。
例20.已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数的值域。
点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。
解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)
∴x=3+4k,y=1+3k,
∴。
当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，。
函数的值域为｛z|z≥1｝.
点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。
14．利用多项式的除法
例21.求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。
点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。
解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。
∵1/(x+1)≠0，故y≠3。
∴函数y的值域为y≠3的一切实数。
点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。
15. 多种方法综合运用
例22. 求函数的值域。
解：令，则
（1）当t>0时，，当且仅当t=1，即x=-1时取等号，所以
（2）当t=0时，y=0。
综上所述，函数的值域为：
注：先换元，后用不等式法

例23. 求函数的值域。
解：

令，则

∴

∴当时，
当时，
此时都存在，故函数的值域为
注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。