二次函数典型题（三）代几综合

已知抛物线的顶点为(3， -2)， 且在x轴上截得的线段AB长为4.

(1) 求这个抛物线的解析式；

(2) 抛物线上是否存在点Q， 使△QAB面积等于12？ 如果存在， 请求出点Q的坐标； 如果不存在， 请说明理由.

【解析】 (1)抛物线解析式的求法是常考知识点， 虽然不同的题目给出的条件不一样， 但是解题的思想比较少， 一般用待定系数法都可以解决.

∵题目中给出了抛物线的顶点，

∴我们设抛物线的顶点式： y=a(x-3)2-2.

接下来的任务是再找一个点.

∵抛物线的顶点为(3， -2)， ∴当函数图像在x轴上截得的线段AB长为4时， 我们可以知点A、 B到x=3的距离都为2， 则A、 B的坐标分别为： （1,0）和(5,0).

把x=1， y=0代入y=a(x-3)2-2得

∴抛物线的解析式为

(2) 这小题重点考察了数形结合的思想和观察能力.

这小题不画图， 靠空想是很难想出来的， 只要先把二次函数的图象画出来， 通过观察和分析图象的特点帮助解决问题.

二次函数的图象如下：

从图象上观察， 发现可能存在两个这样的点. 现在我们假设存在点Q， 并时高点Q的坐标为(a,b). 下一步我们只要能够求出a、 b的具体值， 就可以说明点Q的存在.

要求出这两个未知数， 我们就要找到等量关系， 列出方程. 而这个等量关系就是： △QAB面积等于12.

∵S△QAB=(1)/(2)AB·|b|=2|b|=12,

∴点Q的坐标为(7,6) 或(-1,6).

即存在这样的点Q.