直线构成的空间—射影平面

射影几何教导我们的一个最重要的事情是点与线的对偶性。过去我们只把点当成构成几何图形的元素，空间或曲线、曲面都是由点构成的。现在直线甚至圆、球面等等都可以和点一样构成空间的元素。它们所构成的空间是怎样的呢？为了简单起见，我们只考虑直线构成的空间。平面上通过原点的所有直线构成了一个一维空间，称为射影直线。它到底是什么样呢？如果我们用一个点来代表一条直线的话，它就是一个圆周，因为每一条直线都与一个圆周交于一条直径的两个端点，因此这两个点就代表这条直线，把这两点粘合在一起看成一个点，也就得到一个半圆把两端粘起来，它仍然是一个圆周，因此圆周就是一维射影直线的图像，只不过这时以点为元素了。射影平面是通过三维空间中所有通过原点的直线构成的，我们如法炮制，它相当于把单位球面的直径对顶点粘在一起构成的曲面，这个曲面可不再是球面了，而是射影平面。射影平面可以通过下半球面加上赤道直径对顶点粘合而成。
     我们把赤道用ABCD四边形表示，目的要把AB与CD粘合，DA和BC粘合。为此，我们把A和C拉高，B和D拉下，最后把A和C，B和D粘在一起，而且AB和CD，DA和BC相重，这样就得到自交于一条直线的闭曲面，它就是射影平面。看起来它像球面，但它不是球面。如果我们切掉下半的一部分，我们得到的是一个交叉帽，它是又一个莫比乌斯带的模型。因此射影平面也是单侧曲面，即不可定向曲面。交叉帽有一条自交线和两个奇点。希尔伯特的学生鲍伊造成一个射影平面没有奇点，但自交线还保留，这实际上是不能去掉的。要想造出又没有奇点，又没有自交线的射影曲面只有到四维空间才行。而且我们可以给出四维空间（x，y，y，t）中射影平面的代数方程，即y²z²+y²t²+z²t²=yzt       y(z²-t²)=xzt