下学期 4.8正弦函数、余弦函数的图像和性质1

4.8  正弦函数、余弦函数的图像和性质（第一课时）

（一）教学具准备

直尺、圆规、投影仪．

（二）教学目标 

1．了解作正、余弦函数图像的四种常见方法．

2．掌握五点作图法，并会用此方法作出 上的正弦曲线、余弦曲线．

3．会作正弦曲线的图像并由此获得余弦曲线图像．

（三）教学过程 （可用课件辅助教学）

1．设置情境

引进弧度制以后， 就可以看做是定义域为 的实变量函数．作为函数，我们首先要关注其图像特征．本节课我们一起来学习作正、余弦函数图像的方法．

2．探索研究

（1）复习正弦线、余弦线的概念

前面我们已经学习过三角函数线的概念及作法，请同学们回忆一下什么叫正弦线？什么叫余弦线？（师画图1）

设任意角 的终边与单位圆相交于点 ，过点作 轴的垂线，垂足为 ，则有向线段 叫做角 的正弦线，有向线段 叫做角 的余弦线．

（2）在直角坐标系中如何作点

由单位圆中的正弦线知识，我们只要已知一个角 的大小，就能用几何方法作出对应的正弦值 的大小来，请同学们思考一下，如何用几何方法在直角坐标系中作出点 ？

教师引导学生用图2的方法画出点 ．

我们能否借助上面作点 的方法在直角坐标系中作出正弦函数 ， 的图像呢？

 ①用几何方法作 ， 的图像

我们知道，作函数的图像的步骤是：列表、描点、连结；如果我们用列表法得出各点的坐标，就会因各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值不够精确，使得描点后画出的图像误差也大，为克服这一不足，我们用前面作点 的几何方法来描点，从而使图像的精确度有了提高．

（边画图边讲解），我们先作 在 上的图像，具体分为如下五个步骤：

a．作直角坐标系，并在直角坐标系中 轴左侧画单位圆．

b．把单位圆分成12等份（等份越多，画出的图像越精确）．过单位圆上的各分点作 轴的垂线，可以得到对应于0， ， ， ，…， 角的正弦线．

c．找横坐标：把 轴上从0到 （ ）这一段分成12等分．

d．找纵坐标：将正弦线对应平移，即可指出相应12个点．

e．连线：用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来，即得 ， 的图像．

②作正弦曲线 ， 的图像．

图为终边相同的角的三角函数值相等，所以函数 ， ， 且 的图像与函数 ， 的图像的形状完全一样，只是位置不同，于是我们只要将函数 ， 的图像向左、右平移（每次 个单位长度），就可以得到正弦函数数 ， 的图像，如图1．

正弦函数 ， 的图像叫做正弦曲线．

③五点法作 ， 的简图

师：在作正弦函数 ， 的图像时，我们描述了12个点，但其中起关键作用的是函数 ， 与 轴的交点及最高点和最低点这五个点，你能依次它们的坐标吗？

生：（0，0）， ， ， ，

师：事实上，只要指出这五个点， ， 的图像的形状就基本确定了，以后我们常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为“五点法”作图．

④用变换法作余弦函数 ， 的图像

因为 ，所以 ， 与 是同一个函数，即余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 个长度单位角得到，余弦函数的图像叫做余弦曲线，如图2，师：请同学们说出在函数 ， 的图像上，起关键作用的五个点的坐标．

生：（0，1）， ， ， ，

3．例题分析

【例1】画出下列函数的简图：

（1） ， ；

（2） ， ．

解：（1）按五个关键点列表

利用五点法作出简图3

师：请说出函数 与 的图像之间有何联系？

生：函数 ， 的图像可由 ， 的图像向上平移1个单位得到．

（2）按五个关键点列表

利用五点法作出简图4

师： ， 与 ， 的图像有何联系？

生：它们的图像关于 轴对称．

练习：

（1）说出 ， 的单调区间；

（2）说出 ， 的奇偶性．

参考答案：（1）由 ， 图像知、 ， 为其单调递增区间， 为其单调递减区间

（2）由 ， 图像知 是偶函数．

4．总结提炼

（1）本课介绍了四种作 ， 图像的方法，其中五点作图法最常用，要牢记五个关键点的选取特点．

（2）用平移诱变法，由 这不是新问题，在函数一章学习平移作图时，就使用过，请同学们作比较．应该说明的是由 平移量是不惟一的，方向也可左可右．

5．演练反馈，（投影）

（1）在同一直角坐标系下，用五点法分别作出下列函数的图像

① ， ② ，

（2）观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的 的区间．

① ， ② ， ③ ， ④

（3）画出下列函数的简图

① ，   ② ，   ③ ，

参考答案：

（1）

（2）① ， ，   ② 、 ，

③    ④

（3）

（五）板书设计 

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