能带理论与电子的输运性质

固体能带论是固体物理学中最重要的基础理论，它的出现是量子力学、量子统计理论在固体中应用的最直接、最重要的结果。能带论成功地解决了索末菲半经典电子理论处理金属所遗留下来的问题，为其后固体物理学的大发展准备了条件。1926年布洛赫在瑞士的苏黎士读大学时非常幸运地参加了薛定谔第一次关于他的波动力学的报告会，了解了微观粒子的运动规律。
     1927年秋他到莱比锡大学海森伯处进修。1928年初海森伯认识到量子力学可能在固体的研究中结出丰硕成果，他为布洛赫提出了两个急待解决的问题，一个是铁磁性理论，揭示外斯分子场理论的实质；另一个是金属电导理论，探讨特鲁德和索末菲理论所不能解决的问题。布洛赫选择了后一个，海森伯解决了前一个。当时布洛赫非常了解经典电子论及半经典电子论的成功和困难。他敏感地看到，尽管索末菲用量子统计代替了特鲁德的玻尔磁曼统计，但他保留了理想自由电子气的假设，所以不能真正解释电子长平均自由程，电阻与温度有关等问题。布洛赫抓住了关键：电子是在离子间运动的，所以不能忽略离子的影响而看成自由电子，并决定在博士论文中解决这一难题。
     一开始，布洛赫就准备从电子波动性去寻找答案，物理图象的启发来自海特勒(W.H.Heitler)、伦敦(F.W.London)和洪德(F.Hund)对分子中电子特性的论述，以及耦合摆运动的迁移现象（波的传播）。数学上他采用传统的傅里叶展开法来处理最简单的一维单原子周期势场中的电子运动问题。他发现薛定谔方程的解与自由电子德布罗意波的解差一个周期性的调幅因子： 这里n为任意整数、a为一维单原子链中的原子间距（晶格常数），eikr描述平面波，uk(x)是平面波的调幅因子。布洛赫开始并没有完全理解这个结果的意义，而是先告诉了海森伯，海森伯兴奋地说：“这就是问题的答案”。这一理论可以概括为在周期性势场中运动的电子波函数具有调幅平面波的形式，调幅因子是与晶格周期性相同的周期函数，被命名为布洛赫定理，这种电子的波函数称为布洛赫函数。这一理论为现代固体理论奠定了基础，长期以来很多固体物理难解之谜在几年之内都迎刃而解。
下面举数例加以说明。
     (1)对金属电阻率的计算。由于理想周期晶格中的电子波函数是遍布整个晶体中的扩展态，所以平均自由程为无穷大，电阻为零，实际金属的电阻应来自电势场的不规则性，电阻与温度的关系必须考虑离子的热振动。布洛赫第一次提出波包在电场中被加速的概念，然后考虑电子与晶格振动的相互作用。经过详细的推导，他成功地得到了在高温情况下，电阻率与温度成正比；在低温情况下，电阻率与温度的5次方成正比的结果。这样就解决了这一长期使物理学家为难的问题。
     (2)金属中电子输运过程的另一个奇异现象是正霍尔系数，从1879年开始，人们就企图解开这个谜，利用经典或半经典电子论不可能给予正确的解释。1927年佩尔斯利用能带模型比较容易地给出了清晰的物理解释：波矢k在(π/2a，π/a)范围内，霍尔系数是正的。
     (3)如果说在布洛赫定理提出之前理解金属是困难的话，那么在此之后迫切需要回答的是什么是绝缘体。这个问题在当时似乎已经解决了，人们，包括布洛赫本人都理所当然地认为绝缘体只是不良导体，而不是非导体。金属和绝缘体之间只有量的差别，电阻率大小的差别，没有质的差别。
     1931年，英国物理学家A.H.威尔逊对这个概念提出了挑战。依据能带理论，他成功地解释了金属、绝缘体和半导体的差别。经过布洛赫、佩尔斯、A.H.威尔逊、布里渊等物理学家的努力，逐渐建立了完整的固体能带理论。根据这个理论，晶体中电子的允许能级形成能带，这既不象孤立原子中的分立能级，也不象无限空间中自由电子的连续能级，而是由准连续的能级构成的。相邻两个能带之间的能量范围称为禁带。在绝对零度，被电子填充满的能量最高的电子能带称为价带，通常价带中的电子对应于组分原子的价电子。
     在能带之上，部分被电子占据的能带称为导带。完全没有被电子占据的能带称为空带。金属中存在着不满带（导带），其中的电子可以导电，所以是良导体；绝缘体中没有不满带，所以不能导电；半导体在T=0K时，能带填充情况与绝缘体相同，其差别在于禁带宽度Eg，半导体Eg＜2eV，T≠0K时，依靠热激发把满带的电子激发到空带（从而使其变为导带），于是有了导电能力，称为半导体。能带论中另一个值得介绍之处是对于费米面的认识。贝特在利用布洛赫的理论研究电子在布里渊区中的填充情况时首先提出了费米面的概念，当时称为“波数空间的等能面”。