康托尔集合论

康托尔在无穷问题上取得突破，其关键在于无穷与无穷不一样，正如不同的整数不等一样。在这种情况下，我们才能开展对无穷的研究。靠什么去区别两个无穷集合不同呢？康托尔用的是古老的区别两个集体数目不同的办法，这就是一一对应。杀死多少敌人的士兵，无需要把他们的尸首抬回来报功，而只要把他们的左耳朵（或别的什么）割下来，人与耳朵一一对应，人的数目当然也就是耳朵的数目了。康托尔就凭借这个唯一的武器，只身走入无穷的世界。1873年11月29日康托尔在给戴德金的一封信中，终于把导致集合论产生的问题明确地提了出来；正整数的集合（n）与实数的集合（x）之间能否把它们一一对应起来。实际上，这个问题他已经考虑了很久，特别是考虑连续性的本质时，他总是要碰到这个根本问题，他在信中写道：“取所有正整数n的集体，表示为（n），然后考虑所有实数x的集体，表示为（x）；简单说来，问题就是（n）和（x）是否能够对应起来，使得一个集体中的每一个个体只对应另一个集体中一个且唯一一个个体？乍一看，我们可以说答案是否定的，这种对应不可能，因为（n）由离散的部分构成，而（x）构成一个连续统；但是从这种说法我们什么结果也得不到。
     虽然我非常倾向于认为（n）和（x）不能有这样一个一一对应，但是我找不出理由，我对这事极为关注，也许这理由非常简单。”1873年12月7日，康托尔写信给戴德金，说他已能成功地证明，实数的“集体”是不可数的，也就是不能够同正整数的“集体”一一对应起来，这个日期应该看成是集合论的诞生日。康托尔的证明方法是反证法，比较繁复，特别是比起后来他发明的对角线方法大为逊色，但他后来发表的问题有了些改变。原来的问题是：（实数的集体）=（有理数的集体）+（无理数的集体）既然康托尔已经证明（实数的集体）不能同（整数的集体）一一对应，换句话说（实数的集体）是不可数的，他还证明（有理数的集体）可以同（整数的集体）一一对应，因此是可数的，由此立刻可以推出（无理数的集体）是不可数的。现在康托尔把这一套思想方式再稍稍改动一下：（实数的集体）=（实代数数的集体）+（实超越数的集体）这一回并不太显然，因为实代数数的集体不仅包含全部有理数，还包含大量无理数。加进来这么多无理数之后，实代数数的集体还能是可数的吗？这就是康托尔所要证明的。