面积与体积—积分法

涉及积分的问题要比涉及微分的问题产生早得多，它最直接的来源就是求面积。直线形的面积不难求出，但曲线围成的面积就比较困难，首当其冲的是圆的面积。在古希腊公元前5世纪最有名的问题是求月形的面积，而这个问题到20世纪才完全解决。阿基米德和他的前人曾用“穷竭法”求面积和体积，取得了重要的成就，但是到17世纪微积分问世之前，一般曲线围成的面积还没有系统的方法。另外，推动积分法产生的问题还有求曲线的弧长，一般物体的体积和表面积以及与这类问题有关的求物体重心等。虽然积分法源远流长，但微积分发明之后，一般函数的微分法并不太成问题，而一般函数甚至很简单函数的积分都不是容易的事，积分法仍是数学家研究的主要对象之一，而且积分的概念对整个数学的发展也至关重要。积分法为不定积分和定积分，一个简单函数如多项式及xn的积分的不定积分 从历史上讲，这些公式也不是一下子得出来的。例如17世纪初开普勒就对体积问题很感兴趣，他注意到酒商求酒筒体积的方法不精确，他用切成小圆锥的方法来计算球的体积。卡瓦利埃利在这方面迈进了一步，他摆脱掉穷竭法，把曲线下的图形看成平行线段组成的，面积就看成许许多多无限狭小的长方形的面积之和。其后许多人的积分概念实际上就是无穷小量的求和。因此微积分在当时被称为无穷小演算，用这个方法得到了重要的积分公式。