中考数学中典型的证明线段相等问题

求证两线段相等的题目是很多的，现在把这一类题目的证法进行归纳，证明这一类题目所适用的定理很多，在教科书里面都会学到，这里不去一一记叙，这样的定理虽多，但在证明时最常用的，不外乎下列几种情况：

(1)利用全等三角形

(2)利用等腰三角形

(3)利用平行四边形

(4)利用圆的性质

今天我们以下面这道题为例，利用全等三角形来证明两线段相等。

题目： 如图?ABC，分别以AB,AC边作正方形ABDE,ACGF如图，然后过A点作MH垂直于BC交BC于H点，交EF于M点。

问题： 证明EM=MF

题目分析：

?ABC的类型未知，所以?EAF也是未知的,所以不存在M是斜边中点之类的。

那么如何证明EM=FM呢？

还是要继续从现有条件中挖掘。

我们要充分利用ABDE,ACGF是正方形这一特点。正方形的特点是四个角均为直角，四条边相等。

因为∠EAB=90°，

所以∠HAB+∠EAM=90°

由于直线MH垂直于BC,所以∠AHB为直角，所以∠HAB+∠HBA=90°

所以∠EAM=∠HBA

?ABH是直角三角形，所以如果能以∠EAM为一个角，作一个直角三角形，那么这么三角形就会和?ABH相似，又AE=AB，若以AE,AB为对应边，则这样的两个三角形全等。

按照这个思路我们就有了下面的辅助作图。

过E点作EI垂直于MH 交于I点，过F点作FJ垂直于MH交于J点。

由于∠BAE=90°

所以∠BAH+∠EAM=90°

又MH垂直于BC，所以∠BAH+∠ABH=90°

所以∠EAM=∠ABH，所以?EAI相似于?ABH

而EA,AB为正方形的边，所以EA=AB

所以?EAI全等于?ABH

所以EI=AH

同理可以证明?FJA全等于?AHC（证明过程在此省略，感兴趣的同学按照上述方法即可证明）

即FJ=AH

所以EI=FJ

根据所做的辅助线，我们知道FJ//EI

所以?EIM相似于?FJM

而EI=FJ

所以?EIM全等于?FJM

所以EM=FM