2017中学数学证明点的共圆问题研究

证明点的共圆问题在中考中并不常见，在数学竞赛中可能会出现。但是熟悉点共圆问题的解答方法，有助于我们理解圆的性质，也可以适当用在选择题和填空题中，其用到的也是基本的性质。

一般来说，证明四点或者四点以上共圆的方法可以分为下面几种情况：

(1)利用同斜边的几个直角三角形。直角三角形三个点共圆且圆心和半径固定。

(2)利用两三角形同底等顶角。若两三角形有公共底边，又有相等顶角，且在公共底边的同侧，则四点共圆（同一弦对应的圆周角相等）

(3)利用四边形对角互补

(4)利用四边形的外角等于内对角

(5)证明各点到定点距离相等

(6)证明各点所组成的圆均重合

实例1.如图在三角形ABC中，三边的中点K,G,H，三边高线的垂足D,E,F。O为三高线交点。L,M,N分别为AO,BO,CO的中点。

证明K,G,H,D,E,F,L,M,N共圆。

解答：

要一下子直接证明这9个点共圆是不可能的。

如果我们能够证明中某三个点与其中一些点共圆，又能与剩下的另外的点共圆，则就说明这两个圆重合，这9个点共圆。

我们可以选择三边的中点K,G,H这三个点。比如先证明K,G,H与D,E,F共圆

再证明K,G,H与L,M,N共圆，则这9个点就共圆。

如图连接HK,KG,HD

∵ KG 为中线，H为AC中点

∴KGCH为平行四边形

∴∠HKG=∠C

又?ADC为直角三角形，H为斜边中点

∴HD=HC

∴∠HDC=∠C

∴在四边形KGDH中，

对角∠HKG+∠GDH=∠C+∠GDH=∠HDC+∠GDH=180°

∴KGDH四点共圆

用同样的方法可以证明KGHE,KGHF四点均共圆

所以有KGDHEF六点共圆。

接下来证明KGH与L,M,N共圆，连接如图KGHL

由于K,L,H,G分别为AB,AO,AC,BC中点

所以有AKGH为平行四边形

∴∠KGH=∠A ①

又KL//BE,HL//FC

∴∠KLH=∠FOE（这里隐藏了一个小的平行四边，这两个角为对角）②

又在四边形AFOE中，对角∠AFO=∠AEO=90°

∴∠A+∠FOE=180° 结合①，②

就有∠KGH+∠KLH=180°

∴KGHL四点共圆，同理可以证明KGHM,KGHN四点共圆

最后就有9点共圆