矩形、菱形、正方形的5个考点、知识点和题型

期末考试即将来临，本学期数学的重难点就是四边形，学好了，数学高分；没掌握，成绩就不如人意。

其实这个专题的复习套路就是学会各种四边形的性质定理以及逆定理的判定，基础夯实了，综合问题自然就不在话下。

1.矩形的性质                                                   

①具有平行四边形的一切性质；　

②矩形的四个角都是直角

③矩形的对角线相等；

④矩形是轴对称图形,它有两条对称轴

⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

2.菱形的性质                                                   

①具有平行四边形的一切性质；　　

②菱形的四条边都相等

③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角     

④菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是它的对称轴

⑤菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半。

3.正方形的性质                                                 

正方形具有平行四边形,矩形,菱形的一切性质

①边:四边相等,对边平行；　　　

②角:四个角都是直角                                                   

③对角线:互相平分;相等;且垂直;每一条对角线平分一组对角,即正方形的对角线与边的夹角为45度

④正方形是轴对称图形,有四条对称轴

例1 矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为  （   ）

 A．360        B．90       C．270        D．180

例2 如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC与BD相交于点O，BE：ED＝1：3，AB＝6cm，求AC的长。   

例3 如图， O是矩形ABCD 对角线的交点， AE平分 ∠BAD，∠AOD=120° ，求∠AEO 的度数

例4 菱形的周长为40cm，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长_________

例5 如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．

1.矩形的判定                                                   

①有一个内角是直角的平行四边形是矩形；

②对角线相等的平行四边形是矩形

③有三个角是直角的四边形是矩形

④还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形

2.菱形的判定方法                                                

①有一组邻边相等的平行四边形是菱形                        

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形                        

③四条边都相等四边形是菱形

④对角线垂直平分的四边形是菱形

3.正方形的判定                                                       

①菱形 矩形的一条特征；　　

②菱形 矩形的一条特征

③平行四边形 一个直角 一组邻边相等      

说明一个四边形是正方形的一般思路是:先判断它是矩形,在判断这个矩形也是菱形;或先判断它是菱形,再判断这个菱形也是矩形。

例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，并交于点E，连续EC、AD。

求证：四边形ADCE是矩形。                 

例3 已知如图，在△ABC,∠ACB=900，AD是角平分线，点E、F分别在AB、AD上，且AE=AC，EF∥BC。   

求证：四边形CDEF是菱形                                            

1.利用矩形、菱形、正方形的知识解决函数问题；

2.利用函数知识解决矩形、菱形、正方形的问题；

例1 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．

（1）求k的值；

（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离。  

例2 如图，点B、C分别在两条直线y=2x和y=kx上，点A、D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k值为　　　．         

例3 已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x 1图象的其中一个伴侣正方形．                                         

（1）若某函数是一次函数y=x 1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；

（2）若某函数是反比例函数，它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式。                      

1.从翻折中找出对称轴，利用对称性找相等关系。

2.利用相等关系建立方程解决问题。

例1 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若CF=1，FD=2，则BC的长是(   )                                    

A．3√6   B．2√6   C．2√5   D．2√3

例4 四边形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H                         

(1)如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明           

(2)如图2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，且BD=2，CD=3，求AD的长；

1.计算。利用矩形、菱形、正方形中的等腰三角形和直角三角形进行计算。

2.证明。利用矩形、菱形、正方形的性质和判定，结合全等三角形、等腰三角形、等边三角形的知识展开证明。

3.探究。利用矩形、菱形、正方形等知识展开探究。

例1 在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．                                 

(1)小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由． 

(2)如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．                                                              

(3)如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由。