《广猛说题系列之路径专题》（第三集）

下面再提供几道“定边对直角”模型的经典好题，供同学们强化训练.

例10.如图10所示，正方形ABCD的边长为4，点E、F是其边上的两个动点，动点E从起点C向终点B运动，同时点F从起点D向终点C运动，且它们速度相同，连接AF、DE交于点G.在整个运动过程中，求点G运动的路径长及CG的最小值.

简析：第一步（由全等得直角）：如图10-1，点E与点F在运动的过程中始终有CE=DF，易证Rt△CED≌Rt△DFA，从而有∠1=∠2，进而易知AF⊥DE于点G，自然产生了直角；

第二步（识别“定边对直角”模型）：由AF⊥DE于点G知：点G处有四个直角！然后循着这四个直角去寻找是否有直对的定边！观察容易发现，容易看出只有直角∠AGD所对的边AD为定边，即为“定边AD对直角∠AGD”模型；

第三步（由“定边对直角”作“隐形圆”）：由“定边对直角”模型知：点G一定在以AD为直径的圆上运动，如图10-3所示；

第四步（由“临界值法”确定真实“轨迹”）：接下来利用“临界位置法”（或称“极限位置法”）确定点G的真实路径（或轨迹）：

如图10-2所示，当点E与F在起始位置时，可以找到点G的起点，即为点D处；

如图10-4所示，当点E与F在终止位置时，可以找到点G的终点，即为点O处；

下图为其动态图，供欣赏之：

解题后反思：本题解决的关键是利用正方形中的“相等结构”推导出“垂直结构”（当然，正方形中“相等未必垂直”，如图10-5及图10-6所示，但“垂直必相等”），进而得到目标动点G处存在的直角，继而识别出“定边对直角”模型，借助辅助圆巧解相应的路径长与最值问题.

我们再来看看，下面的正方形中又如何巧出“直角”，算作是例10的变式问题.

例11.(1)如图11-1所示，在正方形ABCD中，点E为AD的中点，连接EC与BD交于点F，再连接AF与BE交于点H，求证：AFBE.

(2)如图11-2所示，在边长为2的正方形ABCD中，M、N是边AD上的两个动点，且始终有AM=DN，连接CN与BD交于点F，再连接AF与BM交于点H，求DH的最小值，并求出此时AM的长.

简析：对于第(1)小问，主要分三步进行；

第一步：由图11-3中阴影的全等三角形，可得∠1=∠2；

第二步：由图11-4中阴影的全等三角形，可得∠2=∠3，从而有∠1=∠3；

第三步：最后再识别出如图11-5所示的“射影基本型”，通过导角容易推出直角∠AHB，从而问题得解.

解题后反思：前两步中的全等，其实质就是“超级对称”的思想，同学们用“对称性”可形成几何直观，这种大势感知的能力极其重要，需要引起大家的关注；另外，第三步中的“射影型相似”是一种极其重要的基本图形，其内部存在着很多的角关系、边关系，包括很多的比例关系等，它在解题应用中占着重要的一席之地，需要引起同学们的广泛关注.

再来解决第(2)小问，把此问与第(1)小问作类比是极其有趣的，相当于图11-1中的中点E一分为二变为了两个动点M与N，再同时同地同速分别左右移动，这就自然产生了第(2)个问题；

我们可以完全类比第(1)小问的解法来解决第(2)小问，具体操作如下：

第一步：由图11-6中阴影的全等三角形，可得∠1=∠2；

第二步：由图11-7中阴影的全等三角形，可得∠2=∠3，从而有∠1=∠3；

第三步：最后再识别出如图11-8所示的“射影基本型”，通过导角容易推出直角∠AHB；

至此，两个小问的过程可以说是一模一样，体现了“图形变了，方法未变”的统一性！

这里笔者又追加了一个极其自然的问题：当DH取得最小值时，求此时AM的长.

这个问题看似简单，其实也不容易！看似麻烦，其实也很容易！为什么这么说呢？关键是同学们是否具备一定的画图素养及“确定性思想”分析问题解决问题的能力，如若有这两方面的意识，此题不难；但若不具备，确实也无路可寻，且听我娓娓道来：

第一步（画图意识）：在图11-10的基础上，连接BH并延长后与边AD的交点即为所要寻找的点M，如图11-11所示，求此时AM的长即可；

第三步（确定性分析）：如图11-12所示，容易知道∠3是确定的，从而其“半角”∠1也是确定的，加之边长AB为2，从而△ABM也是确定的（ASA），因此AM确定，既然是确定的，肯定是可求的，而且一般怎么确定就怎么求，这就是我所想表达的“基于确定性思想的因果关系分析法”；

由前面的分析易知：只要能解出∠1（其三角函数值），就能求出随之确定下来的AM长！从而如何解∠1（其三角函数值）就成为了本问的关键所在；

解题后反思：本题解决原题最小值之后，笔者并没有就此放过这道“好题”，紧接着追加了一小问求此时的AM长，整个例11问题的设置可以说是妙到毫巅，由静至动，再由动至静，动静结合，妙不可言，这就是解题后反思、解题后琢磨的重要性；

而在求此时AM的长时，笔者巧妙借助了“确定性思想”分析问题，结合“因果关系法”导角导边，构造“倍半角模型”最终搞定问题，值得同学们深思；

另外，有关“倍半角模型”的构造可详见本人作品《用倍半角模型解题事半功倍》；

（自编题）如图11-15所示，在正方形ABCD中，点O为边AB的中点，连接OD，在OD上取点H，使OH=OB，连接BH并延长交边AD于点M，求证AM=DH.

下面是浙江徐君斌大师巧妙的几何解法，果断点赞（其间用到了极其经典的正方形中“十字架模型”，徐君的解法中相似可以免了，用等角对等边就可以，本质当然还是相似的两个等腰三角形）：

下面是南京李玉荣（李帅）老师的三种巧妙的构造相似法：

法一：

法二：

从上面的法一与法二及笔者原题中的构造计算法看来，此题是“死”的，怎么算都可以只要你坚定不移，巧施“计策”，妙用所学，一定会“得偿所愿”！

法三：

例12.如图12，以G(0，1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E从点C出发按顺时针方向运动到点B时，此时点F所经过的路径长为__________.