高考数学难点突破24直线与圆锥曲线

难点24  直线与圆锥曲线

直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.

●难点磁场

(★★★★★)已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆方程.

●案例探究

［例1］如图所示，抛物线y²=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积.

命题意图：直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题.本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法”.属★★★★★级题目.

知识依托：弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想.

错解分析：将直线方程代入抛物线方程后，没有确定m的取值范围.不等式法求最值忽略了适用的条件.

技巧与方法：涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算.

解：由题意，可设l的方程为y=x+m,－5＜m＜0.

由方程组,消去y,得x²+(2m－4)x+m²=0                                     ①

∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，

∴方程①的判别式Δ=(2m－4)²－4m²=16(1－m)＞0,

解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0)

设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)则x₁+x₂=4－2m，x₁·x₂=m²,

∴|MN|=4.

点A到直线l的距离为d=.

∴S_△=2(5+m),从而S_△²=4(1－m)(5+m)²

=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()³=128.

∴S_△≤8,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号.

故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8.

［例2］已知双曲线C：2x²－y²=2与点P(1，2)

(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.

(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.

命题意图：第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题.第二问考查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法——“差分法”，属★★★★★级题目.

知识依托：二次方程根的个数的判定、两点连线的斜率公式、中点坐标公式.

错解分析：第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论.第二问，算得以Q为中点弦的斜率为2，就认为所求直线存在了.

技巧与方法：涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化.

解：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得

(2－k²)x²+2(k²－2k)x－k²+4k－6=0                                                                           (^*)

(ⅰ)当2－k²=0,即k=±时，方程(^*)有一个根，l与C有一个交点

(ⅱ)当2－k²≠0,即k≠±时

Δ=［2(k²－2k)］²－4(2－k²)(－k²+4k－6)=16(3－2k)

①当Δ=0,即3－2k=0,k=时，方程(^*)有一个实根，l与C有一个交点.

②当Δ＞0,即k＜,又k≠±,故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程(^*)有两不等实根，l与C有两个交点.

③当Δ＜0，即k＞时，方程(^*)无解，l与C无交点.

综上知：当k=±,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；

当＜k＜,或－＜k＜,或k＜－时，l与C有两个交点；

当k＞时，l与C没有交点.

(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，则2x₁²－y₁²=2,2x₂²－y₂²=2两式相减得：2(x₁－x₂)(x₁+x₂)=(y₁－y₂)(y₁+y₂)

又∵x₁+x₂=2,y₁+y₂=2

∴2(x₁－x₂)=y₁－y₁

即k_AB==2

但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.

［例3］如图，已知某椭圆的焦点是F₁(－4，0)、F₂(4，0)，过点F₂并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F₁B|+|F₂B|=10，椭圆上不同的两点A(x₁,y₁),C(x₂,y₂)满足条件：|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列.

(1)求该弦椭圆的方程；

(2)求弦AC中点的横坐标；

(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围.

命题意图：本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，一、二问较简单，第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，综合性，灵活性强，属★★★★★级题目.

知识依托：椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法.

错解分析：第三问在表达出“k=y₀”时，忽略了“k=0”时的情况，理不清题目中变量间的关系.

技巧与方法：第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义(即焦半径公式)求解，第三问利用m表示出弦AC的中点P的纵坐标y₀,利用y₀的范围求m的范围.

解：(1)由椭圆定义及条件知，2a=|F₁B|+|F₂B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3.

故椭圆方程为=1.

(2)由点B(4,y_B)在椭圆上，得|F₂B|=|y_B|=.因为椭圆右准线方程为x=,离心率为，根据椭圆定义，有|F₂A|=(－x₁),|F₂C|=(－x₂)，

由|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列，得

(－x₁)+(－x₂)=2×,由此得出：x₁+x₂=8.

设弦AC的中点为P(x₀,y₀),则x₀==4.

(3)解法一：由A(x₁,y₁),C(x₂,y₂)在椭圆上.

得                                

①－②得9(x₁²－x₂²)+25(y₁²－y₂²)=0,

即9×=0(x₁≠x₂)

将 (k≠0)代入上式，得9×4+25y₀(－)=0

(k≠0)

即k=y₀(当k=0时也成立).

由点P(4，y₀)在弦AC的垂直平分线上，得y₀=4k+m,所以m=y₀－4k=y₀－y₀=－y₀.

由点P(4，y₀)在线段BB′(B′与B关于x轴对称)的内部，得－＜y₀＜,所以－＜m＜.

解法二：因为弦AC的中点为P(4,y₀)，所以直线AC的方程为

y－y₀=－(x－4)(k≠0)                                                                                          ③

将③代入椭圆方程=1,得

(9k²+25)x²－50(ky₀+4)x+25(ky₀+4)²－25×9k²=0

所以x₁+x₂==8,解得k=y₀.(当k=0时也成立)

(以下同解法一).

●锦囊妙计

1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.

2.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.

●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)斜率为1的直线l与椭圆+y²=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为(    )

A.2                       B.                       C.                             D. 

2.(★★★★)抛物线y=ax²与直线y=kx+b(k≠0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x₁,x₂,直线与x轴交点的横坐标是x₃,则恒有(    )

A.x₃=x₁+x₂                                                                                               B.x₁x₂=x₁x₃+x₂x₃

C.x₁+x₂+x₃=0                                            D.x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁=0

二、填空题

3.(★★★★)已知两点M(1，)、N(－4，－)，给出下列曲线方程：①4x+2y－1=0,

②x²+y²=3,③+y²=1,④－y²=1,在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是_________.

4.(★★★★★)正方形ABCD的边AB在直线y=x+4上，C、D两点在抛物线y²=x上，则正方形ABCD的面积为_________.

5.(★★★★★)在抛物线y²=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________.

三、解答题

6.(★★★★★)已知抛物线y²=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|≤2p.

(1)求a的取值范围.

(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值.

7.(★★★★★)已知中心在原点，顶点A₁、A₂在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6).

(1)求双曲线方程.

(2)动直线l经过△A₁PA₂的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论.

8.(★★★★★)已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都以点A(，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A₁与A点关于直线y=x对称.

(1)求双曲线C的方程.

(2)设直线l过点A，斜率为k,当0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为，试求k的值及此时B点的坐标.

参考答案

难点磁场

解：设椭圆方程为mx²+ny²=1(m＞0,n＞0)，

P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)

由 得(m+n)x²+2nx+n－1=0,

Δ=4n²－4(m+n)(n－1)＞0,即m+n－mn＞0,

由OP⊥OQ,所以x₁x₂+y₁y₂=0,即2x₁x₂+(x₁+x₂)+1=0,

∴+1=0,∴m+n=2                                                                           ①

又2²,

将m+n=2,代入得m·n=                                                                                      ②

由①、②式得m=,n=或m=,n=

故椭圆方程为+y²=1或x²+y²=1.

歼灭难点训练

一、1.解析：弦长|AB|=≤.

答案：C

2.解析：解方程组,得ax²－kx－b=0,可知x₁+x₂=,x₁x₂=－,x₃=－,代入验证即可.

答案：B

二、3.解析：点P在线段MN的垂直平分线上，判断MN的垂直平分线于所给曲线是否存在交点.

答案：②③④

4.解析：设C、D所在直线方程为y=x+b,代入y²=x,利用弦长公式可求出|CD|的长，利用|CD|的长等于两平行直线y=x+4与y=x+b间的距离，求出b的值，再代入求出|CD|的长.

答案：18或50

5.解析：设所求直线与y²=16x相交于点A、B，且A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),代入抛物线方程得y₁²=16x₁,y₂²=16x₂,两式相减得，(y₁+y₂）(y₁－y₂)=16(x₁－x₂).

即k_AB=8.

故所求直线方程为y=8x－15.

答案：8x－y－15=0

三、6.解：(1)设直线l的方程为：y=x－a,代入抛物线方程得(x－a)²=2px,即x²－2(a+p)x+a²=0

∴|AB|=≤2p.∴4ap+2p²≤p²,即4ap≤－p²

又∵p＞0,∴a≤－.

(2)设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，AB的中点 C(x,y),

由(1)知，y₁=x₁－a,y₂=x₂－a,x₁+x₂=2a+2p,

则有x==p.

∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p=－(x－a－p),从而N点坐标为(a+2p,0）?

点N到AB的距离为

从而S_△NAB=

当a有最大值－时，S有最大值为p².

7.解：(1)如图，设双曲线方程为=1.由已知得,解得a²=9,b²=12.

所以所求双曲线方程为=1.

(2)P、A₁、A₂的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），

∴其重心G的坐标为(2，2）

假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x₁,y₁)，N(x₂,y₂).则有

，∴k_l=

∴l的方程为y= (x－2)+2,

由,消去y,整理得x²－4x+28=0.

∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l不存在.

8.解：(1)设双曲线的渐近线为y=kx,由d==1,解得k=±1.

即渐近线为y=±x,又点A关于y=x对称点的坐标为(0，).

∴a==b,所求双曲线C的方程为x²－y²=2.

(2)设直线l：y=k(x－)(0＜k＜1,依题意B点在平行的直线l′上，且l与l′间的距离为.

设直线l′：y=kx+m,应有,化简得m²+2km=2.                            ②

把l′代入双曲线方程得(k²－1)x²+2mkx+m²－2=0,

由Δ=4m²k²－4(k²－1)(m²－2)=0.可得m²+2k²=2                                                                                                        ③

②、③两式相减得k=m,代入③得m²=,解设m=,k=,此时x=,y=.故B(2,).