统计物理学

50～70 年代，中国在统计物理学方面的研究工作进展不大。在 1977年全国自然科学基础学科规划会议之后，统计物理被列为重要研究方向之一。70～80年代以来，中国科学院理论物理研究所和北京师范大学等单位在相变、非平衡统计和耗散结构理论等方面，开展了大量研究工作。在相变和临界现象理论方面，沈觉连对第二类相变对称理论中里夫施茨（Lifshitz）条件的局限性做了分析。1973年，郝柏林和于渌成功地运用量子场论中骨架图方法，把重正化群理论中计算临界指数的ε展开，求解到ε项，实现了临界指数按空间维数差展开到高阶的计算。在统计模型方面，李荫远首次将原来应用于铁磁性理论的贝特-外斯方法推广到具有磁亚点阵的反铁磁性，证明二维点阵不能出现反铁磁有序，计算出简单立方和体心立方结构的反铁磁转变温度与交换耦合常数的关系。后来又将这方法分别推广应用到含有非磁性原子的铁磁固溶体及面心立方点阵上伊辛自旋1/2系统和伊辛自旋1系统的反铁磁性，算出了长程和短程有序度、内能、熵、比热、磁化率等随温度的变化曲线，它们都在临界点出现突变。
     半个多世纪以来，关于铁磁学的伊辛（Ising）模型一直是统计中未能完全解决的问题。其一维解说明系统无相变，二维解说明系统有相变，这一成果突破了平均场理论，成为后来导致重正化群方法的起点。但三维伊辛模型却一直未得出严格解。1975～1986年中国科学院理论物理所郝柏林、石赫、许以超等完成“三维晶格统计模型的封闭近似解”。郝柏林改写了二维模型的各种求解途径，建议对与三维模型密切相关的一个无规行走问题严格求解，试图得到三维伊辛模型的一种封闭的（即不是级数展开的）近似解。他们完成了三维简单立方格子的计算，得到了统计配分函数的封闭表达式。在寻求扩充上述结果的过程中，石赫、郝柏林找到一个形象的反例，说明不存在任何代数 A，可以给出三维伊辛模型的严格解，从而把问题的提法改变为：寻求恰当的代数改进前面的封闭表达式。沿这一方向得到了一些新结果。
     他们的工作虽然未能彻底解决这一现在仍悬而未决的问题，但得到了“迄今最好的结果”（王竹溪语）。1978～1990年，中国科学院理论物理所周光召、苏肇冰、郝柏林等完成了“关于非平衡量子统计的闭路格林函数研究”，对60年代由Schwinger建议的闭路格林函数理论框架做了系统分析，提出了一套有效的理论表述方案，并应用于临界动力学、非线性量子输运、淬火无序系统、激光、等离子体等问题中，得到了一些新的结果。此项结果在理论框架方面，给出了一个定义在闭合时间回路上的路径积分和相应的生成泛函表述，使系统的非平衡态（或平衡态）统计讯息被包含在它的有效拉氏量之中。这样就把经典非平衡统计的动力学演化和统计涨落（关联）两个基本因素明显地推广到量子情形。他们阐明了这类闭路格林函数不仅适用于非平衡或平衡的非相对论量子多体系统，还适用于相对论场论系。
     在理论方法上，提出了求解序参量和统计格林函数的自洽方程组。对多时空尺度的系统，用闭路格林函数方法系统地分析了低频、长波极限下的行为，对量子系统的流体力学描述和动态临界现象有重要的应用。这个描述既充分体现了系统本身的对称性，又完整地反映了统计涨落的作用。用闭路格林函数分析了非线性量子输运过程，指出这是处理这类现象的有效方法。80年代，清华大学与河海大学，在王补宣主持下对“固体表面上流动膜沸腾与液滴蒸发的机理”进行研究，首次提出并分析了由于蒸气膜的沿程增厚、因汽液两相密度差悬殊而引起纵向压力梯度及其对层流膜沸腾传热的重要影响，独创地提出了高流速下湍流过冷膜沸腾传热的简化模型，提出了“汽液混相中间层”的设想与相应的半经验理论；探索了极高热流密度下的瞬态测试技术；提供了实用的传热关系式。
     他们在国际上首次发现了液滴蒸发的滴内存在着伯纳德元胞（Benard Cells）流动现象，首次揭示出微细结构的滴内可出现不同的蒸发形态，发展了实时精确记录和测定液滴蒸发速度的多种光学显示方法。他们的工作为液滴蒸发过程的研究打开了新的领域。1980～1986年，北京师范大学黄祖洽与丁鄂江完成了“玻耳兹曼方程的奇异扰动解法”。他们用奇异扰动方法消去玻耳兹曼方程求解中的久期项，解决了历史上长期无法讨论的长时间弛豫行为和远离平衡态的气体的弛豫问题，取得了该方程解法的一个实质性进展，其结果可用于反应堆和核武器的研制与实验。1978～1983年，北京师范大学方福康首先将I.Prigogine的耗散结构理论介绍到国内，对非平衡相变弛豫过程的触发时间、平均寿命做了研究，并对非线性系统随机层次上的Fokker-Planck方程利用李代数算子结构进行讨论，得到了非线性系统随机求近似的一般处理方法。他还运用泛函分析方法、群分析方法对反应扩散方程、F-P方程的求解判别法则做了讨论。
     从1985年起，方福康又将非平衡系统理论推广到研究复杂系统一般演化机制的领域，并应用于社会经济系统，形成了独特新颖的研究方向。80年代以来，北京师范大学胡岗等在非线性系统中随机力的作用方面研究了非平衡随机系统的演化，非平衡势函数及随机共振等问题，第一次导出了随机力作用下双稳系统从不稳定态发展到最终定态的全过程的弛豫过程的积分表达式，并提出了计算不具有细仔平衡的Fokker-Planck系统势函数的双重展开理论，使这类计算形成了具有普遍性的系统的方法。1983年以来，北京师范大学杨展如和他的研究生对80年代刚兴起的分形物理进行研究，对Sierpinski Carpets上相变的普适性判据提出了重要修正。同时对多种分形晶格上统计模型的相变做了研究，求出了一类特殊分形结构的精确配分函数、自由能和关联函数，发现了在等级晶格上反铁磁 Botts模型可能存在低温代数衰减相，获得了自旋为1的系统的较具一般意义的解。杨展如还根据伊辛模型求出了多种系统的动力学临界指数。
     从 80年代初开始，中国科学院理论物理所的郝柏林坚持进行混沌动力学的研究，为中国在国际学术界争得一席之地，并且推动了中国非线性科学的发展。1982～1991年，郝柏林、郑伟谋等完成了“实用符号动力学及其在耗散系统混沌研究中的应用”课题。该项成果简洁地给出一维映象分岔图中混沌带边界和暗线的方程，给出确定一维映象超稳定周期轨道和混沌边界揉序列参数的“字提升法”，还给出了基于符号序列排序的更一般的二分定参数法，提出了符号序列的周期窗口定理和“广义合成法则”。证明了揉平面中“两次相交意味着混沌”，并且具体应用于确定Lorenz型映象和裂峰映象的拓扑混沌边界。还用符号动力学解释了反称立方映象中对称破缺和对称恢复的机制，给出对称破缺周期字的选择法则及数目；给出了圆映象的直接符号动力学描述，构造了圆映象的揉平面。此成果发现了用两个字母的符号动力学可以给出周期驱动布鲁塞尔振子周期轨道的排列方式和自洽的Lorenz方程中大多数周期轨道的排列方式。
     该成果还给出了计算混沌边界揉行列式主要部分即决定拓扑熵部分的方法，指出转移矩阵与构造形式语言自动机的传递函数间的关系。这是对二维映象符号动力学这个艰难而重要的研究领域的突破，它系统地开辟了实用符号动力学的新领域，把符号动力学发展成研究混沌动力学的具体工具，并用于周期驱动和自洽微分方程的数值研究。使对于各种实际动力系统的数值研究和实验研究更为深入和整体化，并提出了刻划混沌和复杂行为的严格手段。