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充分条件与必要条件预习要点

  • 日期:2011-07-20 21:43
  • 来源: 未知
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  • 发布者:自学习

  学法导引

  学习本节,要特别注意两点:1.充要条件的判断.这也是本节的重点.判断充要条件时,首先要分清题目的条件和结论.在条件中要特别注意区分整个命题的条件和作为充要条件判断的条件.能推出结论的条件,是结论的充分条件;结论能推出的条件,是结论的必要条件;两者都成立,则结论与条件互为充要条件.在判断条件与结论的关系的推理中,可用直接法判断,也可由互为逆否命题的真值相同来判断.

  2.充要条件的证明.实际上需要证明原命题与逆命题都成立,它等价于证明:原命题与否命题都成立;或逆否命题与逆命题都成立;或逆否命题与否命题都成立.我们要灵活选取方法,利用等价转化的思想,把复杂问题简单化.

  知识要点精讲

  1.基本概念


  2.判断方法

  (1)用逆否法判断

  (2)用集合法判断


  设满足条件p(x)的元素组成集合A,满足条件q(x)的元素组成集合B,记为A={x|x∈p(x)},B={x|x∈q(x)}.

  ③若A=B,则称p与q互为充要条件;

  思维整合

  【重点】掌握充要条件的定义以及关于充要条件的判断方法.可以这样理解定义:若p则q,即有了p就一定能推出q,不再需要其他条件了,表明p就能充分保证q成立,故称条件p是q成立的充分条件;

  表明没有q就没有p,即要有p就必须先有q,故称q是p成立的必要条件.

  【难点】对于充要条件的内涵的理解.充要条件的含义实际上与“等价于”的含义完全相同.也就是说,如果命题p等价于命题q,那么我们就可以说命题p成立的充要条件是命题q成立;同样,命题q成立的充要条件是命题p成立.这里之所以把p、q看作命题,而不看作条件、结论,是因为无论是条件还是结论,其实都是命题.

  硬把p看成条件,q看作结论,就不利于理解q是p的必要条件了.在数学中,只有在p是q的充要条件时,才能用p去定义q.因此,每一个定义中就包含一个充要条件.例如:“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”,这一定义就是说,一个四边形为平行四边形的充要条件是它的两组对边分别平行.显然,一个定理如果有逆定理,那么定理与逆定理合在一起,可以用一个含充要条件的语句来表示.另外,充要条件可用“当且仅当”来表示,其中“当”表示“充分”,“仅当”表示必要.

  【易错点】1.考虑问题不全面,分不清谁是条件,谁是结论;推理过程不严密,把充分条件当充要条件来用.2.对命题的否定不准确.

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