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幂函数的定义域，初等函数之一

日期：2019-09-09 11:09
来源: 未知
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幂函数作为基本初等函数之一，需要我们掌握它的基本概念、图象和性质。下面我们就从这三个方面给大家讲解以下如何准确把握幂函数。

首先我们了解它的定义：形如

的函数称为幂函数。

对上述解析式我有如下理解：

（1）凡是幂函数，系数为1。所以，如果给你的幂函数系数是参数，那么毫无疑问参数为1.

（2）指数α是有理数。这点考试几乎不考，让你判断是有理数、无理数是初中生的问题。

（3）底数x是自变量。这点为什么要说呢，当问你

是不是幂函数时你怎么回答——关于s的函数是幂函数，关于t的函数是指数函数（高一学生后面会学习到）。

准确、快速画出幂函数的图象是学习幂函数的目标，也是我们深刻认识幂函数的体现。我以下图为例给大家讲解：

最后总结画法：

（1）先画出两个函数：α=0和α=1所对应的函数

（2）判断你需要画的幂函数α>1还是0<α<1还是α<0

（3）若α>1，则该幂函数在（1，+∝）的图像位于α=1的图象上方；

若0<α<1，则该幂函数在（1，+∝）的图像位于α=0和α=1的图象之间；

若α<1，则该幂函数在（1，+∝）的图像位于α=0的图象下方且在x轴上方渐近于x轴；

（4）在（0，1）上的函数图象补全：

α>0，平滑的曲线连接点（0，0）；

α<0，平滑的曲线向上延长。

上面函数图象的画法里已经分析了很多，这里我们总结以下性质：

（1）定义域：和奇偶性、 α的正负有关

①不管奇偶性，不管α正负，定义域中一定会有（0，+∝）

②奇函数或偶函数：

α>0，定义域为 R

α<0，定义域为 (-∝,0)∪（0，+∝）

③非奇非偶函数：

α>0，定义域为 [0,+∝)

α<0，定义域为（0，+∝）

（2）单调性：和奇偶性、α的正负有关

奇函数在对称区间具有相同的单调性，偶函数在对称区间具有相反的单调性。故，我们只看第一象限的单调性：

α>0，单调递增

α<0，单调递减

（3）奇偶性：和α有关

α是有理数，有理数都可以写成分数，形如m/n，m和n互质，所以m/n只有以下三种情形：

奇/奇偶/奇奇/偶

m代表的是m次方，n代表的是开n次根，所以结论如下：

奇/奇：奇函数

偶/奇：偶函数

奇/偶：非奇非偶函数

幂函数的定义域，初等函数之一

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