高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题四 导数的简单应用及定积分

专题四   导数的简单应用及定积分

1．曲线y＝e^－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.                      B. 

C.                      D．1

答案： A　[y′＝－2e^－2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k＝－2，∴切线方程为y＝－2x＋2，该直线与直线y＝0和y＝x围成的三角形如图所示，其中直线y＝－2x＋2与y＝x的交点A，所以三角形面积S＝×1×＝，故选A.]

2．曲线y＝x³－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．

解析　曲线方程为y＝x³－x＋3，则y′＝3x²－1，又易知点(1,3)在曲线上，有y′|_x＝1＝2，即在点(1,3)处的切线方程的斜率为2，所以切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.

答案　2x－y＋1＝0

3．设函数f(x)＝D是由x轴和曲线y＝f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z＝x－2y在D上的最大值为________．

解析　当x＞0时，求导得f′(x)＝，所以曲线在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线方程为y＝x－1，画图可知区域D为三角形，三个顶点的坐标分别为，(0，－1)，(1,0)，平移直线x－2y＝0，可知在点(0，－1)处z取得最大值2.

答案　2

4．计算定积分－1(x²＋sin x)dx＝________.

解析　－1(x²＋sin x)dx＝＝.

答案　

1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程；考查定积分的性质及几何意义．

2．考查利用导数的有关知识研究函数的单调性、极值和最值，进而解(证)不等式．

3．用导数解决日常生活中的一些实际问题，以及与其他知识相结合，考查常见的数学思想方法．

首先要理解导数的工具性作用；其次要弄清函数单调性与导数符号之间的关系，掌握求函数极值、最值的方法步骤，对于已知函数单调性或单调区间，求参数的取值范围问题，一般先利用导数将其转化为不等式在某个区间上的恒成立问题，再利用分离参数法求解.

必备知识

?导数的几何意义

(1)函数y＝f(x)在x＝x₀处的导数f′(x₀)就是曲线y＝f(x)在点(x₀，f(x₀))处的切线的斜率，即k＝f′(x₀)．

(2)曲线y＝f(x)在点(x₀，f(x₀))处的切线方程为y－f(x₀)＝f′(x₀)(x－x₀)．

(3)导数的物理意义：s′(t)＝v(t)，v′(t)＝a(t)．[来源:学#科#网Z#X#X#K]

?基本初等函数的导数公式和运算法则

(1)基本初等函数的导数公式

(2)导数的四则运算法则

①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)；

②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)；

③′＝(v(x)≠0)．

(3)复合函数求导

复合函数y＝f(g(x))的导数和y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间的关系为y_x′＝f′(u)g′(x)．

?利用导数研究函数单调性的一般步骤

(1)确定函数的定义域；

(2)求导数f′(x)；

(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数y＝f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0；②若已知y＝f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．

?求可导函数极值的步骤

(1)求f′(x)；

(2)求f′(x)＝0的根；

(3)判定根两侧导数的符号；

(4)下结论．

?求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤

(1)求f′(x)；

(2)求f′(x)＝0的根(注意取舍)；

(3)求出各极值及区间端点处的函数值；

(4)比较其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就是最小值)．[来源:Z&xx&k.Com]

必备方法

1．利用导数解决优化问题的步骤

(1)审题设未知数；(2)结合题意列出函数关系式；(3)确定函数的定义域；(4)在定义域内求极值、最值；(5)下结论．

2．定积分在几何中的应用

被积函数为y＝f(x)，由曲线y＝f(x)与直线x＝a，x＝b(a＜b)和y＝0所围成的曲边梯形的面积为S.

(1)当f(x)＞0时，S＝ f(x)dx；

(2)当f(x)＜0时，S＝－ f(x)dx；

(3)当x∈[a，c]时，f(x)＞0；当x∈[c，b]时，f(x)＜0，则S＝ f(x)dx－ f(x)dx.

常考查：①根据曲线方程，求其在某点处的切线方程；②根据曲线的切线方程求曲线方程中的某一参数．可能出现在导数解答题的第一问，较基础．

【例1】已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，求a、b的值．

[审题视点] 　

[听课记录]

[审题视点] 求f′(x)，由可求．

解　f′(x)＝－，

由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，

故即

解得a＝1，b＝1.

 函数切线的相关问题的解决，抓住两个关键点：其一，切点是交点；其二，在切点处的导数是切线的斜率．因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系——方程(组)．其三，求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异．过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上；在点P处的切线，点P是切点．

【突破训练1】 直线y＝2x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.

解析　切线的斜率是2，根据导数的几何意义可以求出切点的横坐标，进而求出切点的坐标，切点在切线上，代入即可求出b的值．y′＝，令＝2得，x＝，故切点为，代入直线方程，得ln ＝2×＋b，所以b＝－ln 2－1.

答案　－ln 2－1

常考查：①利用导数研究含参函数的单调性问题；②由函数的单调性求参数的范围．尤其是含参函数单调性的研究成为高考命题的热点，主要考查学生的分类讨论思想，试题有一定难度．

【例2】已知函数f(x)＝x＋(a∈R)，g(x)＝ln x．求函数F(x)＝f(x)＋g(x)的单调区间．

[审题视点] 　

[听课记录]

[审题视点] 确定定义域→求导→对a进行分类讨论→确定f(x)的单调性→下结论．

解　函数F(x)＝f(x)＋g(x)＝x＋＋ln x的定义域为(0，＋∞)．

所以f′(x)＝1－＋＝.

①当Δ＝1＋4a≤0，即a≤－时，得x²＋x－a≥0，则f′(x)≥0.

所以函数F(x)在(0，＋∞)上单调递增．

②当Δ＝1＋4a＞0，即a＞－时，令f′(x)＝0，得x²＋x－a＝0，

解得x₁＝＜0，x₂＝.

(1)若－＜a≤0，则x₂＝≤0.

因为x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＞0，

所以函数F(x)在(0，＋∞)上单调递增．

(2)若a＞0，则x∈时，f′(x)＜0；

x∈，＋∞时，f′(x)＞0.

所以函数F(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增．

综上所述，当a≤0时，函数F(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；

当a＞0时，函数F(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.

 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．

【突破训练2】设函数f(x)＝ae^x＋＋b(a＞0)．

(1)求f(x)在[0，＋∞)内的最小值；

(2)设曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．

解　(1)f′(x)＝ae^x－，

当f′(x)＞0，即x＞－ln a时，f(x)在(－ln a，＋∞)上递增；

当f′(x)＜0，即x＜－ln a时，f(x)在(－∞，－ln a)上递减．

①当0＜a＜1时，－ln a＞0，f(x)在(0，－ln a)上递减，在(－ln a，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(－ln a)＝2＋b；

②当a≥1时，－ln a≤0，f(x)在[0，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(0)＝a＋＋b.

(2)依题意f′(2)＝ae²－＝，解得ae²＝2或ae²＝－(舍去)．

所以a＝，代入原函数可得2＋＋b＝3，即b＝.

故a＝，b＝.

此类问题的命题背景很宽泛，涉及到的知识点多，综合性强，常考查：①直接求极值或最值；②利用极(最)值求参数的值或范围．常与函数的单调性、方程、不等式及实际应用问题综合，形成知识的交汇问题．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例3】? 已知函数f(x)＝x³＋mx²＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称．

(1)求m，n的值及函数y＝f(x)的单调区间；

(2)若a＞0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．

[审题视点] 　

[听课记录]

[审题视点] (1)根据f(x)、g(x)的函数图象的性质，列出关于m、n的方程，求出m、n的值．(2)分类讨论．

解　(1)由函数f(x)的图象过点(－1，－6)，

得m－n＝－3.①

由f(x)＝x³＋mx²＋nx－2，

得f′(x)＝3x²＋2mx＋n，

则g(x)＝f′(x)＋6x＝3x²＋(2m＋6)x＋n.

而g(x)的图象关于y轴对称，所以－＝0，

所以m＝－3.代入①得n＝0.

于是f′(x)＝3x²－6x＝3x(x－2)．

由f′(x)＞0得x＞2或x＜0，

故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；

由f′(x)＜0，得0＜x＜2，

故f(x)的单调递减区间是(0,2)．

(2)由(1)得f′(x)＝3x(x－2)，

令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.

当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

由此可得：

当0＜a＜1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；

当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；

当1＜a＜3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；

当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．[来源:学&科&网Z&X&X&K]

综上得，当0＜a＜1时，f(x)有极大值－2，无极小值；

当1＜a＜3时，f(x)有极小值－6，无极大值；

当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．

 (1)求单调递增区间，转化为求不等式f′(x)≥0(不恒为0)的解集即可，已知f(x)在M上递增?f′(x)≥0在M上恒成立，注意区别．

(2)研究函数的单调性后可画出示意图．

讨论区间与0,2的位置关系，画图→截取→观察即可．

【突破训练3】已知函数f(x)＝ax²＋1(a＞0)，g(x)＝x³＋bx.

(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；

(2)当a²＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．

解　(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x²＋b.

因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，

所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．

即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.

解得a＝3，b＝3.

(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当b＝a²时，

h(x)＝x³＋ax²＋a²x＋1，

h′(x)＝3x²＋2ax＋a².

令h′(x)＝0，得x₁＝－，x₂＝－.

a＞0时，h(x)与h′(x)的变化情况如下：

所以函数h(x)的单调递增区间为和；单调递减区间为.

当－≥－1，即0＜a≤2时，

函数h(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h(－1)＝a－a².

当－＜－1，且－≥－1，即2＜a≤6时，

函数h(x)在区间内单调递增，在区间上单调递减，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h＝1.

当－＜－1，即a＞6时，

函数h(x)在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间上单调递增，

又因h－h(－1)＝1－a＋a²＝(a－2)²＞0，

所以h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h＝1.

定积分及其应用是新课标中的新增内容，常考查：①依据定积分的基本运算求解简单的定积分；②根据定积分的几何意义和性质求曲边梯形面积．关键在于准确找出被积函数的原函数，利用微积分基本定理求解．各地考纲对定积分的要求不高．学习时以掌握基础题型为主．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例4】由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为(　　)．

A.  B．4  C.  D．6

[审题视点] 　

[听课记录]

[审题视点] 借助封闭图形确定积分上、下限及被积函数．

C　[由y＝及y＝x－2可得x＝4，所以由y＝、y＝x－2及y轴所围成的封闭图形面积为(－x＋2)dx＝

＝.]

 求定积分的一些技巧：

(1)对被积函数要先化简，把被积函数变为幂函数、指数函数、正弦、余弦函数与常数的和或差，再求定积分；

(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段求定积分，再求和；

(3)对含有绝对值符号的被积函数，先要去掉绝对值符号再求定积分．

【突破训练4】 若dx＝3＋ln 2，则a的值为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．6  B．4  C．3  D．2

答案：D　[＝a²＋ln a－1＝3＋ln 2，∴∴a＝2.]

导数法求最值中的分类讨论

由参数的变化引起的分类讨论．对于某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．

【示例】已知函数f(x)＝x³＋x²－ax－a，x∈R，其中a＞0.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；

(3)当a＝1时，设函数f(x)在区间[t，t＋3]上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，记g(t)＝M(t)－m(t)，求函数g(t)在区间[－3，－1]上的最小值．

[满分解答]　(1)f′(x)＝x²＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)．由f′(x)＝0，得x₁＝－1，x₂＝a＞0.

当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－1，a)．(5分)

(2)由(1)知f(x)在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当解得0＜a＜.

所以a的取值范围是.(8分)

(3)a＝1时，f(x)＝x³－x－1.由(1)知f(x)在[－3，－1]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增．

①当t∈[－3，－2]时，t＋3∈[0,1]，－1∈[t，t＋3]，f(x)在[t，－1]上单调递增，在[－1，t＋3]上单调递减．因此f(x)在[t，t＋3]上的最大值M(t)＝f(－1)＝－，而最小值m(t)为f(t)与f(t＋3)中的较小者．由f(t＋3)－f(t)＝3(t＋1)(t＋2)知，当t∈[－3，－2]时，f(t)≤f(t＋3)，故m(t)＝f(t)，所以g(t)＝f(－1)－f(t)．而f(t)在[－3，－2]上单调递增，因此f(t)≤f(－2)＝－.所以g(t)在[－3，－2]上的最小值为g(－2)＝－－＝.(12分)

②当t∈[－2，－1]时，t＋3∈[1,2]，且－1,1∈[t，t＋3]．

下面比较f(－1)，f(1)，f(t)，f(t＋3)的大小．

由f(x)在[－2，－1]，[1,2]上单调递增，有

f(－2)≤f(t)≤f(－1)，

f(1)≤f(t＋3)≤f(2)．

又由f(1)＝f(－2)＝－，f(－1)＝f(2)＝－，

从而M(t)＝f(－1)＝－，m(t)＝f(1)＝－.

所以g(t)＝M(t)－m(t)＝.

综上，函数g(t)在区间[－3，－1]上的最小值为.

(14分)

老师叮咛：本题中的第(3)问比较麻烦，由于所给的区间不确定，函数在此区间上的单调性也不确定，需要根据参数的不同取值进行分类讨论，注意把握分类的标准，能够确定出函数的最大值和最小值，要求思路清晰，结合第(1)问中的函数的单调性确定函数g(t)的最值.

【试一试】已知函数f(x)＝(x－k)²e.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤，求k的取值范围．

解　(1)f′(x)＝(x²－k²)e.

令f′(x)＝0，得x＝±k.

当k>0时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：

所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)；单调递减区间是(－k，k)．

当k<0时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：

所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)；单调递增区间是(k，－k)．[来源:Zxxk.Com]

(2)当k>0时，因为f(k＋1)＝e>，所以不会有?x∈(0，＋∞)，f(x)≤.当k<0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝.∴≤，∴4k²≤1，∴－≤k<0.故当?x∈(0，＋∞)，f(x)≤时，k的取值范围是.