【热点深度剖析】

三角函数的化简、求值及最值问题,主要考查同角三角函数的基本关系式,三角函数的诱导公式,和、差、倍、半、和积互化公式在求三角函数值时的应用,考查利用三角公式进行恒等变形的技能,以及基本运算的能力,特别突出算理方法的考查．2014年的试题文主要考查三角函数的同角的三角函数关系,理科考查三角函数的同角的三角函数关系,三角恒等变换；2015主要考查两角和与差的三角函数公式；2016全国3套试卷分别考查了同角的三角函数关系、诱导公式及二倍角公式.通过三年试题来看,二倍角公式,同角的三角函数关系是考试的重点．从近几年的高考试题来看,利用同角三角函数的关系改变三角函数的名称,利用诱导公式、和差角公式及二倍角公式改变角的恒等变换是高考的热点,常与三角函数式的求值、三角函数的图象与性质、三角形中三角恒等变化,向量等知识综合考查,既有选择题、填空题,又有解答题,属中低档题．预测2017年会继续强化对三角变换考查的力度,同角三角函数基本关系式、诱导公式及三角恒等变换依旧是考查重点．

【重点知识整合】

一．三角函数诱导公式

注意：运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式,我们不仅要记住公式,更重要的是抓住公式的特征,如角的关系,次数关系,三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用,而且抓住了公式的结构特征,有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征,联想到相应的公式,从而找到解题的切入点.

三．二倍角公式的正弦、余弦、正切

【应试技巧点拨】

1. 利用诱导公式求值：给角求值的原则和步骤

(1)原则：负化正、大化小、化到锐角为终了.

于利用角的变换的思想方法解决问题.

2.利用诱导公式化简三角函数的原则和要求

(1)原则：遵循诱导公式先行的原则,即先用诱导公式化简变形,达到角的统一,再进行三角函数名称转化,以保证三角函数名称最少.

(2)要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.

2. 利用诱导公式证明三角恒等式的主要思路

(1)由繁到简法：由较繁的一边向简单一边化简.

(2)左右归一法：使两端化异为同,把左右式都化为第三个式子.

(3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形,再证明.

6.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路

基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心.第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有:

（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如

【考场经验分享】

1．在利用三角函数定义时,点

可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点．

一定是正值．

2．同角三角函数关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系在求三角函数值时,进行开方时要根据角的象限或范围判断符号,正确取舍．

3．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号,特别是在具体题目中出现类似kπ±α(k∈Z)的形式时,需要对k的取值进行分类讨论,从而确定三角函数值的正负．

4.重视三角函数的“三变”： “三变”是“变角”,“ 变名”,“ 变式”；变角为：对角的拆分要尽可能化为同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形．

4．两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点：

（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉,而且对公式的变形应用也要熟悉；

（2）善于拆角、拼角

（3）注意倍角的相对性

（4）要时时注意角的范围

（5）化简要求

熟悉常用的方法与技巧,如切化弦,异名化同名,异角化同角等.

5．证明三角等式的思路和方法

（1）思路：利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式.

（2）证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等.

6．解答三角高考题的策略.

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”.

（2）寻找联系：运用相关公式,找出差异之间的内在联系.

（3）合理转化：选择恰当的公式,促使差异的转化.

7．加强三角函数应用意识的训练

由于考生对三角函数的概念认识肤浅,不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间建立联系,造成思维障碍,思路受阻.实际上,三角函数是以角为自变量的函数,也是以实数为自变量的函数,它产生于生产实践,是客观实际的抽象,同时又广泛地应用于客观实际,故应培养实践第一的观点.总之,三角部分的考查保持了内容稳定,难度稳定,题量稳定,题型稳定,考查的重点是三角函数的概念、性质和图象,三角函数的求值问题以及三角变换的方法.

8．变为主线、抓好训练

变是本章的主题,在三角变换考查中,角的变换,三角函数名的变换,三角函数次数的变换,三角函数式表达形式的变换等比比皆是,在训练中,强化变意识是关键,但题目不可太难,较特殊技巧的题目不做,立足课本,掌握课本中常见问题的解法,把课本中习题进行归类,并进行分析比较,寻找解题规律.

针对高考中题目看,还要强化变角训练,经常注意收集角间关系的观察分析方法.另外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要加强,这也是高考的重点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目.

9.本热点一般难度不大,属于得全分的题目,一般放在选择题与填空题的中间位置,但是因题目解法的灵活性造成在紧张的考试氛围里面,容易一时的思路堵塞,需冷静处理,如果一时想不到化简的方向,可暂且放一放,不要钻牛角尖,否则可能造成心理负担,情绪受到影响,因新课标高考对这个热点考查难度已经降低,学生应有必胜的信心.

【真题演练】