数学破题36计第4计 关羽开门 刀举成功

●计名释义

关羽不同于诸葛. 诸葛是智星，靠着扇子；关羽是武士，用的大刀. “过关斩将”用这大刀，“水淹七军”用这大刀.

数学上的“分析”、“分解”、“分割”等，讲的都是刀工. 关羽的“切瓜分片”是什么意思？切者，七刀也，分者，八刀也！再难的数学题，经过这七刀、八刀，最后不就粉碎了吗！

●典例示范

［例1］ （2006年四川卷第19题）

如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a.

（Ⅰ）求证：MN∥面ADD1A1；

（Ⅱ）求二面角P—AE—D的大小；

（Ⅲ）求三棱锥P—DEN的体积.

［分析］ 这是个长方体，而“长”正好是“宽”和“高”的2倍，这正是“关羽开门”的对象：用刀从中一劈，则分成2个相等的正方体. 对于正方体，我们该多么熟悉啊！有关线段的长度，各线段间的位置关系，我们都了如指掌.

［解Ⅰ］ 取D1C1的中点Q ，过Q和MN作平面QRST. 显然，M、N都在这平面里.

易知QN和SM都平行于平面BCC1B1MN∥BCC1B1MN∥面ADD1A1（证毕）.

［插语］ 其所以这么简单，是因为我们对正方体熟悉. 正方体从何而来，感谢关羽的大刀之功. 以后的（Ⅱ）和（Ⅲ），都可转化到正方体里进行（从略）.

【例2】 (04·重庆卷题21)设p>0是一常数，过点Q（2p，0）的直线与抛物线y2=2px交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H（H为圆心）.?

（Ⅰ）试证：抛物线顶点在圆H的圆周上；?

（Ⅱ）并求圆H的面积最小时直线AB的方程.?

【分析】  （Ⅰ）AB是圆H的直径，欲证抛物线的顶点在圆上，有如下各种对策：?（1）证|OH|=|AB|.?

(2)证|OA|2+|OB|2=|AB|2?

（3）证∠AOB=90°,即OA⊥OB，等.?

显然，利用向量知识证=0,当为明智之举.?

【解答】  （Ⅰ）当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=2p,代入y2=2px;y2=4p2,y=±2p,∴|AB|=|y1-y2|=4p.?显然，满足|OQ|=|AB|,此时Q、H重合,∴点Q在⊙H上.?

如直线AB与x轴不垂直，设直线AB：y=tanα(x-2p),

x=,代入：y=tanα·-2ptanα.?即tanα·y2-2py-4p2tanα=0.?

此方程有不同二实根y1y2,?

∴y1+y2=,y1y2=-4p2.?

∵ =x1x2+y1y2=+y1y2=-4p2=0.?

∴,故点O仍在以AB为直径的圆上.?

【分析】  (Ⅱ)为使圆面积最小只须圆半径取到最小值，为此不可避免的要给出直径AB之长的函数表达式，直观上我们已可推测到当AB⊥x轴时，弦AB之长最短(这就是论证方向)，为此又有多种途径:?

(1)用直线的点斜式与抛物线方程联立，得关于x（或y）的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB|2的函数式，再用二次函数或均值不等式的知识求其最值.?

(2)用直线的参数方程与抛物线方程联立，得关于参数t的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB|2=（t1-t2）2的函数表达式，再依正、余弦函数的有界性求其最值.?

这两种方法各有优长，但都须牵涉到两个变量x,y,以下我们推荐，利用投影公式得出的|AB|函数式，只牵涉一个变量.?

【解答】（Ⅱ）直线AB的倾角为α,当α=90°时，⊙H的半径为2p,S⊙H?=4πp2.?

当α≠90°时，不妨设α∈［0,)，则

综上，?|AB|min=4p,当且仅当α=90°时，?（S⊙H）min=4πp2,相应的直线AB的方程为：x=2p.?

别解：由（1）知恒有∠AOB=90?°?.?

∴||2=|

=

≥2x1x2+2p(x1+x2)

≥2x1x2+4p.?

∵y1y2=-4p2,∴x1x2=?

于是||2≥16p2,| |min=4p.当且仅当x1=x2=2p时，S⊙H=4πp2.?

【点评】  斧子开门，只要你说要进去，直接在墙上打洞最直接了.??

●对应训练

1.已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,n∈N+,且a1,a2,…，an构成一个数列{an},满足f(1)=n2.?

(1)求数列{an}的通项公式，并求之值.?

(2)证明0<f<1.?

2.矩形ABCD中,AB=6,BC=2,沿对角线BD将△ABD向上折起，使点A移到点P,并使点P在平面BCD上的射影O在DC上(如图所示).?

(1)求证:PD⊥PC;?

(2)求二面角P—DB—C的大小.?

●参考答案?

1.分析： (1){an}的各项是f(x)展开式中各项的系数，故其各项和Sn=f(1).

?(2)可以预见:f展开式的各项是系数成等差，字母成等比的综合数列，这

种数列的求和方法是“错项相减”.?

(3)f的解析式必含变量n,为判断其范围可考虑用求导法判断其单调性.?

解答： (1)∵f(1)=a1+a2+…+an=n2,?

即Sn=n2,?

∴an=Sn-Sn-1=2n-1,?

?=；?

(2)由(1)知an=2n-1.?

∴f=1×      ①?

    ②?

①-②:

f =

     =

=

=1-

设g(x)=,∵g′(x)=3-x+(x+1)·3-xln3· (-1)=.

∴g(x)是R+上的减函数，从而g(n)是N+上的减函数，［g(n)］max=g(1)=,

又当n→∞时,g(n)→0,∴∈,从而f∈.?

2.分析:图形经过翻折(或平移、旋转)，只是位置改变，而有关线段的长度、角度及原来的平行、垂直等关系，在位置改变前后都没有改变，紧扣这一点，就能悟出解题门道.

(1)为证PD⊥PC,须先证PD⊥平面PBC,已有PD⊥PB(翻折前为AD⊥AB),还须PD⊥BC.?

(2)求二面角的要点是找出二面角的平面角，已有PO⊥平面BCD于O,且?O∈CD?,只须作OM⊥BD?即可.??

解答: (1)由条件知PO⊥平面BCD于O,且?O∈CD,?BC⊥CD,∴BC⊥PD(三垂线定理),但PD⊥PB,∴PD⊥面PBC,从而PD⊥PC.?

(2)作OM⊥BD于M，连接PM,则BD⊥PM(三垂线定理),∴∠PMO是二面角P—BD—C的平面角,?

∵PB=6,

PD=2,∴BD=4,PM==3,?

已证PD⊥PC,∴PC=,

PO=.?

?sin∠PMO=,∠PMO=arcsin,?

即所求二面角P—DB—C的大小为?arcsin.?