什么时候走长的路比短的路更快？

那么，难道说走折曲的路径比走直线能够更快地到达目的地吗？是的，如果全程各段的行进速度不一样，那情形的确是这样。举例来说，假定有一个人住在两个火车站之间，而离一个火车站很近。他想尽快走到比较远的那个车站上去，他会骑马向反方向走到比较近的车站，在那里搭上火车到他的目的地去。从他的村庄到他的目的地，如果一直骑马前去，走的路会近一些，但是他宁愿骑马搭火车走一段比较长的路，原因是这样走会比较快到达目的地。在这里，走长的路就比走短的路更快。现在不妨再花一分钟时间看一看另外一个例子。
     一位骑马的通讯员，要从A点把一份报告送到C点的司令官那里。在他和司令官帐幕之间隔着一片沙地和一片大草地，沙地和草地的分界线是一条直线 EF。马在沙地里走是很困难的，这儿的速度只等于在草地上速度的一半。问：为了尽快把报告送到，这位骑马的通讯员应该选择怎么样的路线？初看最快的路径自然应当是从A到C的直线。但这是完全错误的，而且我也不相信会有走这条路径的通讯员。沙地上难走他是明白的，这使他正确地考虑到难走的沙路应该越短越好，就是越过这沙地的路线应该越斜得少越好；当然，这样做会加长了越过草地上的路；但是在草地上可以走得比较快，速度等于沙地的两倍，因此路长一些也还是有利的，使得全程可以在较短时间里走完。
     换句话说，他走的路线应该在沙地和草地的分界线上拆曲，使草原上所走的路线跟分界线的垂线所成的角，比沙地上所走的路线跟这垂线所成的角大。懂几何学的人，可以用勾股弦定理算出直线 AC 果然不是最快的路线，如果照我们这里图上所画的尺寸来说，假定我们沿 AEC 折线行进的话，可以更快到达目的地。图上注明，沙地阔2公里，草地阔3公里，BC长7公里。于是按照勾股弦定理，AC的全长就是
     是等于3.44公里。由于沙地上行进速度只等于草地上的一半，3.44公里的沙路就得花上草地上走6.88公里的时间。因此，走完全长8.60公里的AC直线的路程所要花的时间，等于在草地上走12.04公里所花的时间。现在我们给折线路程AEC也来做一次同样的计算。折线的AE部分是2公里，所花的时间等于在草地上走4公里的时间；EC部分
     照这样说，看起来比较“短”的直路，实际上相当于在草地上走12.04公里，而比较“长”的折线路却一共相当于在草地上走11.61公里。你看，比较“长”的路竟要比那比较“短”的路近12.04－11.61=0.43公里，就是大约近半公里！我们这里还没有指出最快的路线。理论告诉我们，最快的路线应该是（这儿得找三角学来帮忙了）使 b角的正弦跟a角的正弦间的比（sinb：sina）等于草地上速度踉沙地上速度间的比，就是 2∶1。换句话说，要选最快的路线，一定要使sinb等于sina的两倍。这样跨过分界线的M点，应该离E一公里。那时候