变幻无穷的彩灯

少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯或亮或暗，变幻无穷。200个灯泡按1～200编号。灯泡的亮暗规则是：第1秒，全部灯泡变亮；第2秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；第3秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态（即亮的变暗，暗的变亮）；第4秒，凡编号为4的倍数的灯泡改变原来亮暗状态。这样继续下去，……200 秒为一周期。当第200秒时，哪些灯是亮着的？
     分析与解 在解答这个问题时，我们要用到这样一个知识：任何一个非平方数，它的全体约数的个数是偶数；任何一个平方数，它的全体约数的个数是奇数。例如，6和18都是非平方数，6的约数有：1、2、3、6，共4个；18的约数有1、2、3、6、9、18，共6个。它们的约数的个数都是偶数。又例如，16和25都是平方数，16的约数有：1、2、4、8、16，共5个；25的约数有1、5、25，共3个。它们的约数的个数都是奇数。回到本题。本题中，最初这些灯泡都是暗的。第一秒，所有灯都变亮了；第2秒，编号为2的倍数（即偶数）的灯由亮变暗；第3秒，编号为3的倍数的灯改变原来的亮暗状态，就是说，3号灯由亮变暗，可是6 号灯则由暗变亮，而9号灯却由亮变暗……。这样推下去，很难理出个头绪来。正确的解题思路应该是这样的：凡是亮暗变化是偶数次的灯，一定回到最初状态，即是暗着的。只有亮暗变化是奇数次的灯，才是亮着的。
     因此，只要考虑从第1秒到第200秒这段时间，每盏灯变化次数的奇偶性就可判断灯的亮暗状态。一个号码为a的灯，如果有7个约数，那么它的亮暗变化就是7次，所以每盏灯在第200秒时是亮还是暗决定于每盏灯的编号的约数是奇数还是偶数。我们已知道，只有平方数的全部约数的个数是奇数。这样1～200之间，只有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196这 14个数为平方数，因而这些号码的灯是亮着的，而其余各盏灯则都是暗着的。用奇偶性分析解题，是我们经常用的一种解题方法，既灵活又有趣。