数学教案－圆的方程

§7.6  圆的方程（第二课时）
㈠课时目标 
1． 掌握圆的一般式方程及其各系数的几何特征。
2． 待定系数法之应用。
㈡问题导学
问题1：写出圆心为（a,b）,半径为r的圆的方程，并把圆方程改写成二元二次方程的形式。 -2ax-2by+ =0
问题2：下列方程是否表示圆的方程，判断一个方程是否为圆的方程的标准是什么？
① ；            ② 1                     
③ 0；            ④ -2x+4y+4=0
⑤ -2x+4y+5=0;             ⑥ -2x+4y+6=0
㈢教学过程 
 [情景设置] 
  把圆的标准方程 展开得 -2ax-2by+  =0
  可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：
    +Dx+Ey+F=0                                        ①
  提问:方程表示的曲线是不是圆?一个方程表示的曲线是否为圆有标准吗?
  [探索研究]
  将①配方得 :    ( )  ② 
  将方程 ②与圆的标准方程对照.
  ⑴当 ＞0时, 方程 ②表示圆心在 (- ),半径为 的圆.
  ⑵当 =0时,方程①只表示一个点(- ).
  ⑶当 ＜0时, 方程①无实数解,因此它不表示任何图形.
  结论: 当 ＞0时, 方程 ①表示一个圆, 方程 ①叫做圆的一般方程.
  圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径,而一般方程突出了形式上的特点:
  ⑴ 和 的系数相同,不等于0;
  ⑵没有xy这样的二次项.
 以上两点是二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件,但不是充分条件
[知识应用与解题研究]
[例1]  求下列各圆的半径和圆心坐标.
  ⑴ -6x=0;     ⑵ +2by=0(b≠0)
[例2]求经过O（0，0），A（1，1），B（2，4）三点的圆的方程，并指出圆心和半径。
 分析：用待定系数法设方程为   +Dx+Ey+F=0 ，求出D，E，F即可。
[例3]已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为 的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。
 分析：本题直接给出点，满足条件，可直接用坐标表示动点满足的条件得出方程。
 反思研究：到O（0，0），A（1，1）的距离之比为定植k（k>0）的点的轨迹又如何？当k=1时为直线，k>0时且k≠1时为圆。
㈣提炼总结
1． 圆的一般方程： +Dx+Ey+F=0 （ ＞0）。
2． 二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件是：A=C≠0且B=0。
3． 圆的方程两种形式的选择：与圆心半径有直接关系时用标准式，无直接关系选一般式。
4． 两圆的位置关系（相交、相离、相切、内含）。
㈤布置作业 
1． 直线l过点P（3，0）且与圆 -8x-2y+12=0截得的弦最短，则直线l的方程为：
2． 求下列各圆的圆心、半径并画出它们的图形。
⑴    -2x-5=0；  ⑵ +2x-4y-4=0
 3．经过两圆 +6x-4=0和 +6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程。