数学教案－双曲线的几何性质

?§8．4  双曲线的几何性质（第1课时）
㈠课时目标 
1． 熟悉双曲线的几何性质。
2． 能理解离心率的大小对双曲线形状的影响。
3． 能运用双曲线的几何性质或图形特征，确定焦点的位置，会求双曲线的标准方程。
㈡教学过程 
 [情景设置] 
  叙述椭圆 的几何性质，并填写下表：
方程
性质         
 

图像 （略） 
范围 -a≤x≤a，-b≤y≤b 
对称性 对称轴、对称中心 
顶点 （±a,0）、（±b,0） 
离心率 e=(几何意义)

 [探索研究]
 1．类比椭圆 的几何性质，探讨双曲线 的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。
   双曲线的实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长及离心率的定义。
双曲线与椭圆的几何性质对比如下：
    
方程
性质        
 

图像 （略）  （略）
范围 -a≤x≤a，-b≤y≤b x≥a,或x≤-a,y∈R
对称性 对称轴、对称中心 对称轴、对称中心
顶点 （±a,0）、（±b,0） （-a,0）、（a,0）
离心率 0＜e=＜1
e=＞1

下面继续研究离心率的几何意义：
（a、b、c、e关系：c2=a2+b2, e=＞1）
2.渐近线的发现与论证
根据椭圆的上述四个性质，能较为准确地把 画出来吗？（能）
根据上述双曲线的四个性质，能较为准确地把 画出来吗？（不能）
通过列表描点，能把双曲线的顶点及附近的点，比较精确地画出来，但双曲线向何处伸展就不很清楚。
我们能较为准确地画出曲线y=,这是为什么？（因为当双曲线伸向远处时，它与x轴、y轴无限接近）此时，x轴、y轴叫做曲线y=的渐近线。
问：双曲线 有没有渐近线呢？若有，又该是怎样的直线呢？
引导猜想：在研究双曲线的范围时，由双曲线的标准方程可解出：
y=± =±
当x无限增大时， 就无限趋近于零，也就是说，这是双曲线y=±
与直线y=± 无限接近。
这使我们猜想直线y=± 为双曲线的渐近线。
直线y=± 恰好是过实轴端点A1、A2，虚轴端点B1、B2，作平行于坐标轴的直线x=±a, y=±b所成的矩形的两条对角线，那么，如何证明双曲线上的点沿曲线向远处运动时，与渐近线越来越接近呢？显然，只要考虑第一象限即可。
证法1：如图，设M（x0,y0）为第一象限内双曲线 上的仍一点，则
y0=  ，M（x0,y0）到渐近线ay-bx=0的距离为：
∣MQ∣=  =

                  =   ．     
点M向远处运动， x0随着增大，∣MQ∣就逐渐减小，M点就无限接近于 y=
故把y=± 叫做双曲线 的渐近线。
3．离心率的几何意义
∵e=，c＞a, ∴e＞1由等式c2-a2=b2,可得 ===
e越小（接近于1） 越接近于0，双曲线开口越小（扁狭）
 e越大 越大，双曲线开口越大（开阔）
 4．巩固练习
   求下列双曲线的渐近线方程，并画出双曲线。
        ①4x2-y2=4       ②4x2-y2=-4
    已知双曲线的渐近线方程为x±2y=0，分别求出过以下各点的双曲线方程
         ①M（4， ）   ②M（4， ）
[知识应用与解题研究]
例 1   求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
例2    双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转而成的曲面，如图；它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m,选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）
㈣提炼总结
1. 双曲线的几何性质及a、b、c、e的关系。
2. 渐近线是双曲线特有的性质，其发现证明蕴含了重要的数学思想与数学方法。
3. 双曲线的几何性质与椭圆的几何性质类似点和不同点。