《函数性质的运用》案例分析

一、相关背景介绍 建构主义理论告诉我们，学习是学生在原有认知经验基础上主动建构新知识的过程。这一建构过程实际上需要学生将原有知识与新知识（包括思想、观点、方法）进行有效组合与沟通。而学生知识、方法的迁移，水平、能力的提高均依赖于这个过程。从这个意义上说，数学学习实际上是指学生对数学现象的领悟和实质理解。抽象函数这部分内容，体现了数学的高度抽象性和简洁性，近几年高考几乎每年都有类似的题目。由于它的提干都是由抽象的数学符号给出，因此它对学生阅读理解数学语言和符号的能力要求很高。对学生的思维能力是一个大的挑战。二、本节课教学目标  1 、知识与技能① 使学生深刻理解函数的奇偶性、周期性、对称性等性质。掌握代数变换的方法。② 学会阅读理解数学语言和符号，会综合运用函数性质解题。2 、过程与方法通过让学生经历阅读、理解、探索求解的过程，渗透化归转化的思想、数形结合的思想。寻求合理、有效的途径，解决数学问题。3 、情感、态度、价值观使学生领会数学的抽象性和严谨性，培养他们实事求是的科学态度，积极参与和勇于探索的精神。4 、重点：综合运用函数性质解题难点：对文字语言、符号语言、图形语言三种语言的理解和相互转换。三、设计理念 1 、首先通过复习函数的性质导入  ，训练学生对数学的文字语言、符号语言和图形语言这三种语言的相互转换2 、例 1 的设计的意图是：加深学生对函数概念、性质的理解。教学生学会阅读、理解数学语言、符号；学会文字语言、图形语言、符号语言的相互转化。通过一题多解、一题多思，渗透化归转化和数形结合的思想，以及代数变换的方法，培养他们的思维能力。课堂形式是：分组讨论。3 、例 2 的设计主要让学生独立思考解答探求多种解法，思考、交流、表达，体现学生主体参与合作学习。要求学生综合运用函数性质解题，提高他们抽象思维能力，问题延伸思考，主要针对较好学生，让他们课后继续钻研，提高分析问题、解决问题能力，也体现了分层教学的思想。四、下面是课堂实录《函数性质的运用》 师：前面我们已经分别复习了函数的奇偶性、单调性、对称性及周期性等。今天我们学习函数性质的综合运用。请先思考回答以下问题：① 若函数 f （ x ）是奇函数，如何用符号表示？用图形表示？② 若给出图形 请用文字语言叙述它的对称性，用符号如何表示？③ 若 f （ x+2 ） =f （ x ），你能有何结论？如何用文字语言叙述，用符号表示？生 1 ： ① f （ -x ） =-f （ x ）生 2 ： ② 函数 f （ x ）关于 x=1 对称，即 f （ 1+x ） =f （ 1-x ）生 3 ： ③ f （ x ）是周期函数，周期为 T=2 ，示意图： 师：由 f （ x+2 ） =-f （ x ）你能说出什么信息？生： f （ x ）的周期是 T=4师：为什么？能否用图象解释？生：将式中的 x 用 x+2 来替代，得到： f （ x+4 ） =-f （ x+2 ）又因为 -f （ x+2 ） =f （ x ），所以 f （ x+4 ） =f （ x ）即： T=4但是不太用图像来解释师：提示：从图示看出 f （ x+4 ） =f （ x ）的周期为 4 。总结：通过对函数的奇偶性、对称性、周期性等性质的复习，我们要熟悉数学的文字语言，符号语言，图形语言三种语言的转换。好，下面我们来看例 1例 1 ：设 f （ x ）是（ -∞ ， +∞ ）上的奇函数， f （ x+2 ） =-f （ x ），当 0≤x≤1 时， f （ x ） =x ，则 f （ 7.5 ） =?生 1 ：利用周期性由 f （ x+2 ） =-f （ x ）可得到 f （ x+4 ） =f （ x ）所以 f （ 7.5 ） =f(8-0.5)=f(-0.5)=-0.5生 2 ：直接利用 f （ x+2 ） =-f （ x ）f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f[-f(3.5)]=f(3.5)=-f(1.5)=f(-0.5)=-0.5师：还有其他方法吗？f （ x ）是奇函数且 f （ x+2 ） =-f （ x ），除了能说出周期 T=4 外，还能说出哪些信息？（师提示）生： f （ x+2 ） =-f （ x ） =f （ -x ）而 f （ x+2 ） =f （ -x ）得到 f （ x ）关于直线 x=1 对称师：很好，你能否根据函数的对称性、周期性及奇偶性，画出它的图象？从而利用图象来解题呢？生： 从图中可以看出 f （ 7.5 ） =f(-0.5)=-0.5师：我们在解题的过程中，应善于利用数形结合的思想方法，有时能收到意想不到的效果的。师总结：方法一：主要要求对符号的深刻理解及获取信息方法二：利用 f （ x+2 ） =-f （ x ），通过转化达到解题的目的，渗透了转化的思想方法三：利用函数的几何性质，通过作图，利用数形结合的思想来解题。下面我们来将这道题目进行变化：变化 1 ：已知条件不变，问题变为当 x ∈ [-1 ， 0] 时，求 f （ x ）的解析式生 1 ：设 x ∈ [-1 ， 0] 则 -x ∈ [0 ， 1]∴ f （ -x ） =-x ，又 ∵ f （ -x ） =-f （ x ）∴ f （ x ） =x∴ 当 x ∈ [-1 ， 0] 时， f （ x ） =x师：能否总结一下解题步骤？生 2 ：小结：首先要 “ 问啥设啥 ” ，不要把变量设错了区间；第二，把变量转化到已知区间上去最后，再利用函数的奇偶性、周期性求出 f （ x ）的解析式。变化 2 ：当 -1≤x≤1 时， f （ x ）的解析式生：由已知和变化 1 可知当 -1≤x≤1 时， f （ x ） =x变化 3 ：当 x ∈ [3 ， 5] 时，求 f （ x ）的解析式生：设 x ∈ [3 ， 5] ，则 x-4 ∈ [-1 ， 1]∴ f （ x-4 ） =x-4 ∵ T=4∴ f （ x ） =x-4变化 4 ：当 x ∈ [1 ， 3] 时，求 f （ x ）的解析式生：设 x ∈ [1 ， 3] ，则 x-2 ∈ [-1 ， 1]∴ f （ x-2 ） =x-2 ∵ T=4∴ f （ x-2 ） =f （ x+4-2 ） =f （ x+2 ） =-f （ x ）∴ -f （ x ） =x-2∴ f （ x ） =2-x师：小结：上面这四个变化训练要求我们要掌握代数变换这种数学方法，体会化归转化的思想在解题过程中的运用。例 2 ：定义在（ -∞ ， +∞ ）上的偶函数 y=f （ x ）满足关系 f （ x+2 ） =-f （ x ）且 f （ x ）在区间 [-2 ， 0] 上是增函数，那么以下结论正确的有① y=f （ x ）是周期函数② y=f （ x ）的图象关于直线 x=2 对称③ y=f （ x ）在区间 [2 ， 4] 上是减函数④ f （ ） =f （ ）生 1 ： ① f （ x ）是周期函数， T=4师： ② 分析：要证明直线 x=2 是 y=f （ x ）图象的对称轴，只需要证明什么关系式成立？生：只需证 f （ 2-x ） =f （ 2+x ）或证 f （ -x ） =f （ 4+x ）或证 f （ x ） =f （ 4-x ）师：那我们选择证第三个等式 f （ x ） =f （ 4-x ）成立生： ∵ f （ x ）的周期 T=4 ，且 f （ x ）是偶函数∴ f （ 4-x ） =f （ -x ） =f （ x ）即 f （ x ） =f （ 4-x ）∴ y=f （ x ）图象的对称轴 x=2③ ：生 1 ：有已知在区间 [-2 ， 0] 上， y=f （ x ）是增函数，由于 y=f （ x ）是偶函数，其图象关于 y 轴对称，那么在 [0 ， 2] 上 y=f （ x ）是减函数，又由于 y=f （ x ）图象关于直线 x=2 对称，所以 y=f （ x ）在区间 [2 ， 4] 上是增函数所以结论错误生 2 ：也可以借助于图象（示意图）证明 ③ 是错误的 ④ ：生 3 ：由于 f （ x ）在区间 [0 ， 2] 上是递减的∴ f （ ） >f （ ）∴ 结论错误师：请同学们课后对问题进行延伸思考：通过以上两个例题，我们发现这样一个结论：如果 f （ x ）具备奇偶性，同时 f （ x ）的图象还关于某条直线对称，则 f （ x ）是周期函数，你认为这个结论成立吗？请证明。课堂总结：（师生共同完成）要求对函数性质有深刻的理解及三种数学语言的理解转化掌握代表变换的方法，体会数形结合、化归思想在解题过程中的应用进一步培养学生的抽象思维能力课堂检测：已知定义在 R 上的周期函数 y=f （ x ），周期 T=4 ，若 y=f （ x ）的图象关于直线 x=2 成轴对称图形求证： y=f （ x ）是偶函数五、课后反思 这节课的教学环节，设计比较合理。特别是课前的复习导入  ，加强学生对数学的文字语言、符号语言、图形语言三种语言理解和相互转换，为突破本节课的难点做了有益的铺垫。例 1 的三种解法和四种变化，从不同的角度和方面加深了学生对函数有关概念性质的理解，对数学语言阅读能力的培养，同时对提高他们的抽象思维能力是极有好处的学生课堂上的反映热烈，积极参与，回答问题踊跃。特别是一些平时成绩偏下的学生也积极发言，很想表现自己，渴望得到来势和同学的认可。看来，如果平时也经常关注这部分学生，多给他们成功的机会，调动他们参与课堂的积极性，那么他们一定回愿意学，乐于学，学好的从课堂小测反馈的情况看，有少数学生对这部分内容的掌握还有困难，不会阅读，理解数学符号，因此运用起来感到比较困难，无从下手解题，因此对这部分学生还得加强课后的辅导督促其落实课堂上程序基本上是老师设计安排好的，没有让学生发现问题、提出问题，从而解决问题，这对培养学生的创新意识和能力是有碍的，这也是本人感到困惑的地方，在高三的复习时间紧迫的情况下，在课堂上，如何既让学生有一定的时间体会探索，发散思维，甚至充分暴露思维的错误，又能按时完成课时进度，落实各个知识点，不影响应试考试的成绩。这实在是太难了啊！