数学高考10招(2) 就地取材 无中生有
●计名释义
这一招是专门对付开放题的.
开放题有两种类型:一是开放条件;二是开放结论.
条件开放的试题,结论明确、解题方向清楚,但条件不足,也就是条件不充分,属于“必要不充分”的题型,我们的任务是补充能使结论成立的充分条件.
反之,结论开放的试题,条件充分,但结论不明确.我们的任务则是补充必要条件.?
●典例示计
【例1】以下是武汉市某次高中调考中的一道数列题:
等差数列{an}的前n项和为Sn,若(a1+a3)2=9,an<0(n∈N),则S10等于( )
这道题从正面解,你会发现无论走哪条路,都“差条件”,陷入欲进不得,欲罢不忍的困境.可是,你是否想到,也可以把选项作条件来用呢?
本解使用的,正是“就地取材”的计策.如果你感到题干中的“条件不够”,陷入“山穷水复疑无路”的困境,不妨在选项中就地发现“柳暗花明又一村”.
那么,什么又是“无中生有”呢?请看
【例2】如图,OM∥AB,点P在由射线OM,线段OB几AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界),且OP=x0A+yOB,则实数对(x,y)可以是 ( )
【例4】如图所示,在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,
E、F、G、H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC
中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M只要满足条件
时,就有MN∥平面B1BDD1(请填上你认为正确的一
个条件即可,不必考虑全部可能情况).
【思考】显然HN∥BD,即得HN∥平面B1BDD1,
为使点M在平面EFGH内运动时总有B1BDD1∥MN,只需过HN
作平面,使之平行于平面在平面B1BDD1,将线面平行的问题转化
为面面平行的问题.
【解析】连FH,当点M在HF上运动时,恒有
MN∥平面B1BDD1证明如下:连 NH ,HF,BD,B1D1,
且平面NHF交B1C1于P.则NH ∥BD,HF∥BB1,故
平面PNHF∥平面BB1D1D.MN平面PNHF,
∴MN∥平面B1BDD1
【例5】 知F(x)是二次项系数为负数的二次函数,
且对于任何x∈R,f(2-x)=f(2+x)总成立,问f(1-2x2)与
f(1+2x-x2)满足什么条件时,才能使-2<x<0成立.
【思考】 根据已知条件很容易得到f(x)是开口向下且对称轴为x=2的二次函数,然后可通过函数单调区间进行分类讨论.
【解答】 由题设知:函数f(x)的图象是开口向下且对称轴为直线x=2的抛物线.
即x2+2x>0,解得x<-2或x>0,不能使-2<x<0成立.
当f(1-2x2)>f(1+2x-x2)时,1-2x2>1+2x-x2,
即x2+2x<0,解得-2<x<0,符合题意,当f(1-2x2)=f(1+2x-x2)时,
可得x=-2或0,不能使-2<x<0成立.
∴当f(1-2x2)>f(1+2x-x2)时,才能使-2<x<0成立.
【例1】 能否构造一个等比数列{an},使其同时满足三个条件:①a1+a6=11;②a3a4=32/9;③至少存在一个自然数m,使
化简得: 4(26-m)2-11·26-m-8=0,这里Δ=112+16×8=249不是完全平方数.∴符合条件的m不存在.
综上所述,能构造出满足条件①,②,③的等比数列,该自然数m=3,数列的通项公式为:
【例6】 将二次函数f(x)=ax2+bx+c对应于一次函数g(x)=2ax+b.?
(1)求f(x)=x2+2x+1对应的一次函数g(x).
(2)观察后请写出这个对应法则.?
(3)可以用g(x)的某些性质来研究f(x)的性质:当g(x)>0时,对应的f(x)的性质有哪些?
(4)你还能研究另外的某些性质吗?
(5)设g(x)=x,写出与g(x)对应的f(x)的三个不同的解析式.
【思考】 本例是结论开放型试题,解题时要求根据已知条件将结论(必要条件)补充完整.f(x)与g(x)是什么关系?我们容易由f′(x)=2ax+b,知f′(x)=g(x),可见,只有当g(x)=f′(x)时,才有可能用g(x)的性质来研究f(x)的某些性质.
【解答】 (1)∵a=1,b=2,∴g(x)=2x+2.
(2)①g(x)的一次项系数是f(x)的二次项系数与其次数的积;
②g(x)的常数项等于f(x)的一次项系数.
(3)g(x)>0,即2ax+b>0,当a>0时,x>-b/2a,而x=-b/2a是f(x)的对称轴,故这时f(x)是单调增函数;a<0时,x<-b/2a,f(x)仍为单调
【小结】 指导开放题解法的理论依据是充分必要条件,即若AB,则称A为B的充分条件,B为A的必要条件.
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