数学破题36计第32计 立几开门 平面来风

第32计 立几开门 平面来风?

●计名释义?

空间型试题感到困难怎么办？退到平面去，平面是立体几何的基础，“空间几何平面化”是我们的基本手段.“平面化”的主要形式有：（1）展开图，把空间展到平面；（2）三视图，从不同的角度看平面；（3）射影图，把一个平面放到另一个平面去；（4）截面图，把我们关心的平面进行特写.如此等等，可以把直观图中的错觉或误差分别转移到平面上作“真实分析”.??

●典例示范?

【例1】   “神舟六号”飞船上

使用一种非常精密的滚球轴承，

如图所示，该滚球轴承的内

外圆的半径分别为1mm、3mm?，

则这个轴承里最多可放

滚珠                       个.                例1题图?

【解答】   6如图，设两滚球P，Q相切

于点T，轴承中心为O，连接OT，

设滚球半径为d，内、外圆半径

分别为r、R，则R=3，d=r=1.?

在Rt△OTP中，∠POT=，OP=2，PT=1,?

则有sin=，

得α=2×=，即在圆心角为的轨道内，           例1题解图

可放一个滚珠，故圆心角为周角（2π弧度）

时可放的滚珠为=6个.?

【点评】   本题考查了球体知识的相切问题，把复杂的空间立体图形简化成平面图形来解决.??

【例2】   在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面四边形ABCD边长为3，高为4，在棱C₁B₁，C₁D，CC?上分别取一点M、N、L使C₁M＝C₁N＝1，C₁L＝.?

(1)求证：对角线AC₁⊥面MNL；?       （2）求四面体D—MNL的体积；?

（3）求AM和平面MNL所成夹角的正弦值.?

【思考】   (1)本题并不难，但其手法还是“退”，由证线面垂直退到证线线垂直.根据对称性，只需证AC₁与LM、LN之一垂直即可;?

(2)四面体D—MNL的体积不好求，可退而求四面体C₁—MNL的体积，这两个四面体等底不等高，再退而求四面体对应高之比，然后将所求四面体C₁—MNL的体积适当扩大即可；?

（3）AM与面MAC₁夹角的正弦不好求，可退而求AM、AC₁夹角的余弦.?

【解答】   （1）如图所示，以D₁为原点，直线D₁A₁，D₁C₁，D₁D分别为x,y，z轴建立空间坐标系，?

则有：A（3，0，4），C?₁（0，3，0）?

∴=(-3,3,-4)；L，N(0,2,0),?

∴=∵·=0+3-3=0,?

∴⊥,根据图形对称性，

同理有⊥，故AC₁⊥平面MNL.?              例2题解图

(2)四面体D—MNL与C₁—MNL同底不等高，设其高分别为h₁，h₂，连C₁D交NL于E.?

∵D(0,0,4),?

∴=(0,-3,4),且·=(0,-3,4)·=0.?

∴⊥，知L、E、D、C在同一个圆上，||·?||?=||·||,

即·4=||·5.

∴||=，从而||=5-=.?

h₁∶h₂=.?

易求V_C?1－MNL＝·C₁M·C₁N·C₁L=×1×1×，∴V_D-MNL?==(立方单位).?

(3)设AM与平面AC₁成θ角，已证AC₁⊥平面MNL，∴∠MAC₁=90°-θ.?

∵M(1,3,0),∴=(-2,3,-4), ·=(-2,3,-4)·(-3,3,-4)=6+9+16=31.?

又｜｜=,

｜｜= .?

∴cos (90°-θ)=.?从而?sin?θ=，即AM与平面MNL所成角的正弦值为.?

【评注】   本题第（2)问另一解法：∵V_D-MNL?=V_M-DNL，而S_△DNL?易求，且MC₁⊥面DNL，从而V_D-MNL =·S_△DNL?·MC₁也不失为另一有效解法.??

【例3】    （04·全国卷Ⅲ）如图，

四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，

AB=8，AD=4，侧面PAD为等边

三角形，并且与底面所成二面角为60°.?

(Ⅰ)求四棱锥P—ABCD的体积；?

（Ⅱ）求证：PA⊥BD.?

【分析】   1.题目没有讲是“正”四棱锥，

不要粗心地乱加条件“按正棱锥”解题，

否则是“瞎子点灯”——白费蜡，

因此，顶点在底面的射影不一定是底面的中心.?                 例3题图

2.图中的三角因素很多，证垂直的最好办法是利用向量.因而制定三角加向量的解题策略.?

【解答】   （Ⅰ）设O为P在底面的射影，作OE⊥AD于E，连PE，则∠PEO是二面角P—AD—O的平面角，有∠PEO=60°.已知△PAD为正三角形，且边长为4.

∴|PE|=4sin60°=6，PO=6sin60°=3.?

∴V_P—ABCD=·S_□ABCD?·PO=·8·4·3]=96(立方单位).?

(Ⅱ)以O为原点，平行于AD的直线为x轴，平行于AB的直线为y轴，垂线OP所在直线为z轴建立如图的空间直角坐标系.?

则有P(0,0,3)，A(2,-3,0)，B(2,5,0),D(-2,-3,0),?

∴=(2,-3,-3),?=(-4,-8,0),?

∵·=-24+24+0=0.?                 ∴⊥.??

●对应训练?

1.如图所示，ABCD是边长

为2a的正方形，

PB⊥平面ABCD，

MA∥PB，且PB=2MA=2a，

E是PD的中点??

(1)求证：ME∥平面ABCD;?

(2)求点B到平面PMD的距离;?

(3)求平面PMD与平面

ABCD所成二面角的余弦值???              第1题图

2.在正三棱锥S—ABC中，底面是边长为a的正三角形，点O为△ABC的中心，点M为边BC的中点，AM=2SO，点N在棱SA上，且SA=25SN.?

(Ⅰ)求面SBC与底面ABC所成二面角的大小；?

（Ⅱ）证明：SA⊥平面NBC.?

3.如图,边长为2的正方形ADEF所在的

平面垂直于平面ABCD，AB=AD，

AB⊥AD，AC=3，AC⊥BD，

垂足为M，N为BF的中点.?

(1)求证：MN∥平面ADEF；?

（2）求异面直线BD与CF所成角的大小；?

（3）求二面角A-CF-D的大小.?                         第3题图

●参考答案?

1.(1)延长PM、BA交于F，连接FD，FD、BC延长交于G，连接PG，?

∵MAPB=a，?

∴M为PF中点，又E为PD中点，?

∴ME为△PFD中位线，ME∥FD，

而FD平面ABCD,?

∴ME∥平面ABCD.?

(2)MA?/span>PB时，A为FB的中点.?

∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，DC∥AB，

∴D、C分别为FG、BG的中点.                                 第1题解图

∵AB=BC=2a.  ∴BF=BG=4a.  ∴BD⊥FG，∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥FG，故FG⊥平面PBD.  作BH⊥PD于H，必FG⊥BH，

故BH⊥平面PFG，BH之长是点B到平面PFG(也就是平面PMD)的距离.?

?Rt△PBD中，PB=2a，BD=2a.?

∴PD==2a，BH=a，即所求距离为a.?

(3)由(2)知FG⊥DB，FG⊥DP.  ∴∠PDB是二面角P-FG-B的平面角，且

cos∠PDB=，即所求二面角的余弦值为.?

点评：   (1)解立体几何题有两句格言:一是空间问题平面化，一是不规则图形规则化.本解中“规则化”的手段是补形，最终补成底面为等腰直角三角形且高与底面垂直的规则四面体，以下的分析计算也就方便了.?

(2)将正方体截下一个角，所得四面体由于有三条侧棱两两垂直，我们称这样的四面体为直角四面体，直角四面体有许多重要性质，其中最重要的有3条：?

①若用S，S₁，S₂，S₃分别表示直角四面体的底面积和三个侧面积,那么：S₂=S ²₁+S ²₂+S ²₃?

②若直角四面体的三条侧棱之长依次为a，b，c，则其底面积：S=

③若直角四面体的三条侧棱之长，依次为a，b，c，且直角顶点到底面的距离为h，那么?

h=.?

根据公式③本题第2问可轻而易举地解决：图中B—PFG为直角四面体，且BP=2a，BF=BG=4a?

∴BH=?

2.(1)如图，正△ABC边长为a时，

AM=a，OM=AM=a.

SO=AM=a.?

∠SMA是二面角S—BC—A的平面角，

设为α，则tanα=.

∴面SBC与面ABC成arctan的角.?                       第2题解图

(2)以O为原点，直线AM、OS分别为x,z轴，过O且平行于BC的直线为y轴建立如图的空间直角坐标系，则有B(a,,0)，M(a，0,0)，C (a,,0)，S (0,0, a).?

∵a，有A(-a，0，0).?

∵=(-a，0，-a)，=（0，a，0），       ∴?·=0,?⊥.?

又=，故有N(a，0，a).      =a，0，-a).?

故·=（- a,0,-  a）·（a,0,-a）= -a² +0+a² =0.?

∴?⊥，从而SA⊥平面NBC.?

3.方法一：（1）∵AB=AD，AC⊥BD，垂足为M，∴M为BD的中点，∵N为BF中点，∴MN∥DF?

∵MN面ADEF，DF面ADEF，∴MN∥平面ADEF.?

 (2)∵平面ADEF⊥平面ABCD，又∵FA⊥AD，∴FA⊥面ABCD，?

∵AC是FC在平面ABCD内的射影，BD⊥AC，∴BD⊥CF，?

∴异面直线BD与CF所成角的大小为90°.?

（3）在平面ACF内过M作MH⊥CF于H，连DH，?

∵BD⊥AC，BD⊥CF，AC∩CF=C，?

∴BD⊥面ACF，斜线DH在平面ACF内的射影是MH，?

又CF⊥MH，∴CF⊥DH，∴∠MHD是二面角A-CF-D的平面角.?

在等腰Rt△ABD中，DM=，AM=，∵AC=3，∴CM=2，CF=,?

∵△CMH∽△CFA,∴，∴MH=,?tanMHD =,?

∴二面角A-CF-D的大小为?arctan.?

方法二：（1）同法一；?

（2）∵平面ADEF⊥平面ABCD，又∵FA⊥AD，∴FA⊥面ABCD，?

∴平面FAC⊥平面ABCD，在平面FAC内作MG⊥AC交FC于点G，?

∴MG⊥平面ABCD.?

如图，建立空间直角坐标系M-xyz,?

则C（2，0，0），B（0，-，0），D（0，，0），F（-，0，2），?

∴=（0,2,0），=（3,0,-2），∴·=0，∴?⊥.?

∴异面直线BD与CF所成角的大小为90°.?

     第3题解图（1）            第3题解图（2）              第3题解图（3）

(3)设n=（x,y,z）是平面CFD的法向量，?

∵=（3，0，-2）,=（，，-2）,?

由，∴，令z=3，则x=，y=2，?

∴n=（，2，3），∵MD⊥AC，∴MD⊥平面ACF?

∴平面ACF的法向量=（0，，0），则cos<n，>=.?

∴二面角A-CF-D的大小为arccos.??