这道很多人问的高考题，来看看你有没有透彻地理解它

我们从一道这样的题目说起：

这道题按照一般步骤，是设出点Q坐标后分别写出切线QA、QB的方程，进而得到点A和点B坐标，再用两点式写出直线AB方程。但是点A和点B坐标要用点Q坐标写出就得用求根公式，然后用两点式写直线AB也是比较麻烦的。我们都知道，有未知参数时用求根公式是解析几何中的大忌，除非可以分解因式，比如两个根中有一个根已知。在解析几何里，我们偏爱韦达定理，拒绝求根公式。

下面给出的做法比较巧妙。

其中的关键一步，是由－2＝(1/2)x1·t－y1，－2＝(1/2)x2·t－y2，说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程－2＝(1/2)t·x－y，进而得出这就是直线AB的方程。

上述方法，在看待方程时进行了参数与未知数地位的转换，这是非常重要的一种思维。

另外，有值得注意的两个内在逻辑：

1. 点A、B坐标同时满足的方程，必然是经过点A、B的轨迹（这里说的轨迹未必是直线）所对应的方程；

2. 如果这个方程是直线方程（二元一次方程）的话，那就必然是直线AB的方程，因为“两点确定一条直线”，经过A、B两点只有唯一的一条直线AB。

在第2点的情况下，这类问题被称为“切点弦”问题，但是上述第1点为什么要强调“这里说的轨迹未必是直线”呢？

我们回到解答中的这一步：

在点A处的切线方程为y－y1＝(1/2)x1(x－x1)，化简得，y＝(1/2)x1·x－y1，

同理，在点B处的切线方程为y＝(1/2)x2·x－y2.

“化简得”这三个字所代表的过程，是把 x1^2 这一项代换成 4y1。

为什么这么代换？这样代入点Q坐标后就可以把该方程化成点A坐标满足的一次方程，也即直线方程的形式。

如果这里不作代换，得到A、B两点坐标同时满足方程 y－y0＝(1/2)x(x－x0)，这其实也是一个经过点A、B的轨迹的方程，只不过不是我们需要的直线方程，所以在这道题里我们要做上述代换。

如果不这么代换呢？比如把 y1 换成 (1/4)(x1^2)，也即消去 y1 只留下 x1，那代入点Q坐标后就得到一个 x1 满足的一元二次方程，同理可以得到一个同样形式的 x2 满足的一元二次方程。既然是 x1 和 x2 同时满足该一元二次方程，x1 和 x2 就是该方程的两个解，可以根据该方程用韦达定理求 x1+x2，x1·x2（用点Q坐标表示）。进而可以表示我们需要的其他变量，比如弦长| AB |等。

下面这道高考题的过程与例1类似，其中第（3）问里| AF |·| BF |就可以借助抛物线几何定义后用韦达定理代入表达。

下面的这道例题也差不多，只是抛物线外引两条切线所过的点从直线上的点换成了另一个抛物线上的点，除了该点横纵坐标满足的关系式随之变化外，其他一致。弦长| AB |就是用前面说的方法表示，甚至不需要写出直线AB的方程来和抛物线方程联立，可以直接化简到一元二次方程用韦达定理得到。

最后我想说，其实在更早的时候我们就应用今天讲的这种方法了。“直线和圆”里有一个类似的问题：过圆外一点作圆的两条切线，求切点弦方程。过程如下：

设圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

首先,过圆上一点(x1,y1)的切线方程为

(x1-a)(x-a) + (y1-b)(y-b) = r^2

同理,过圆上一点(x2,y2)的切线方程为

(x2-a)(x-a) + (y2-b)(y-b) = r^2

如果(x0,y0)是圆外一点,它向圆引切线的切点分别为(x1,y1),(x2,y2),

那么把(x0,y0)代入上面两个直线方程均成立,

也就是说,(x1,y1),(x2,y2)同时满足直线方程(x-a)(x0 - a) + (y-b)(y0-b) = r^2

上式就给出了切点弦方程.