高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题十五 直线、圆及其交汇问题

专题十五  直线、圆及其交汇问题

1．设a∈R，则“a＝1”是“直线l₁：ax＋2y－1＝0与直线l₂：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．充分不必要条件                 B．必要不充分条件

C．充分必要条件                     D．既不充分也不必要条件

答案： A　[由a＝1可得l₁∥l₂，反之由l₁∥l₂可得a＝1或a＝－2，故选A.]

2．已知圆C：x²＋y²－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则(　　)．

A．l与C相交                          B．l与C相切

C．l与C相离                          D．以上三个选项均有可能

答案：A　[把点(3,0)代入圆的方程的左侧得3²＋0－4×3＝－3＜0，故点(3,0)在圆的内部，所以过点(3,0)的直线l与圆C相交，选A.]

3．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x²＋y²＝2的位置关系一定是(　　)．

A．相离                                   B．相切

C．相交但直线不过圆心          D．相交且直线过圆心

答案：C　[易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)，故选C.]

4．过点(－1，－2)的直线l被圆x²＋y²－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为________．

解析　由题意知直线要与圆相交，必存在斜率，设为k，则直线方程为y＋2＝k(x＋1)，又圆的方程可化为(x－1)²＋(y－1)²＝1，圆心为(1,1)，半径为1，

∴圆心到直线的距离d＝＝ ，

解得k＝1或.

答案　1或

本问题是整个解析几何的基础，在解析几何的知识体系中占有重要位置，但解析几何的主要内容是圆锥曲线与方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高考试卷中一般就是一个选择或填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题，偏向于考查直线与圆的综合，试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行．[来源:Z+xx+k.Com]

高考对解析几何的考查，主要考查直线和圆的方程以及直线与圆的位置关系的有关问题．运算能力与平面几何知识的灵活运用有可能成为制约考生解题的一个重要因素，因此在复习的过程中，要注意加强圆的几何性质的复习，注意向量方法在解析几何中的应用，注意强化运算能力的训练，努力提高灵活解题的能力．

必备知识

?两直线平行、垂直的判定

(1)①l₁：y＝k₁x＋b₁，l₂：y＝k₂x＋b₂(两直线斜率存在，且不重合)，则有l₁∥l₂?k₁＝k₂，l₁⊥l₂?k₁·k₂＝－1.

②若两直线的斜率都不存在，并且两直线不重合，则两直线平行；

若两直线中一条直线的斜率为0，另一条直线斜率不存在，则两直线垂直．

(2)l₁：A₁x＋B₁y＋C₁＝0，l₂：A₂x＋B₂y＋C₂＝0，

则有l₁∥l₂?A₁B₂－A₂B₁＝0，且B₁C₂－B₂C₁≠0，

l₁⊥l₂?A₁A₂＋B₁B₂＝0.

?圆的方程

(1)圆的标准方程：(x－a)²＋(y－b)²＝r²(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为r.

(2)圆的一般方程：x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0(D²＋E²－4F＞0)，圆心为，半径为r＝；二元二次方程Ax²＋Bxy＋Cy²＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是

必备方法

1．由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，由所给的条件和采用的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的情况，尤其在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况．

2．处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用，如弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化．

3．直线与圆中常见的最值问题

(1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值．

(2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值．

(3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值．

(4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题．

(5)两圆相离，两圆上点的距离的最值．

4．两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程．

对于圆的方程，高考要求能根据所给的条件选取恰当的方程形式利用待定系数法求出圆的方程，并结合圆的几何性质解决与圆相关的问题．该部分在高考中常以填空、选择的形式直接考查，或是在解答题中综合轨迹问题进行考查．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例1】? 已知圆C与圆x²＋y²－2x＝0相外切，并且与直线x＋y＝0相切于点Q(3，－)，求圆C的方程．

[审题视点] 　

[听课记录][来源:Zxxk.Com]

[审题视点] 先确定采用标准方程还是一般方程，然后求出相应的参数，即采用待定系数法．

解　设圆C的圆心为(a，b)，则

解得或所以r＝2或r＝6.

所以圆C的方程为(x－4)²＋y²＝4或x²＋(y＋4)²＝36.

 求圆的方程一般有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．

【突破训练1】 已知圆过点A(1,2)，B(3,4)，且在x轴上截得的弦长为6，求圆的方程．

解　法一　设圆的方程为x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0.

令y＝0，得x²＋Dx＋F＝0.

设弦的两端点的横坐标分别为x₁、x₂.

因圆在x轴上截得的弦长为6，所以|x₁－x₂|＝6，

即D²－4F＝36，①

又圆过点A(1,2)，B(3,4)，

所以D＋2E＋F＋5＝0，②

3D＋4E＋F＋25＝0，③

由①②③解得或

故所求圆的方程为x²＋y²＋12x－22y＋27＝0或x²＋y²－8x－2y＋7＝0.

法二　设所求圆的方程为(x－a)²＋(y－b)²＝r²，

由已知得解得或

故所求圆的方程为(x＋6)²＋(y－11)²＝130，或(x－4)²＋(y－1)²＝10.

直线与圆的位置关系是高考考查的热点，主要考查直线与圆的相交、相切、相离的判定与应用，以及弦长、面积的求法等，并常与圆的几何性质交汇，要求学生有较强的运算求解能力．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例2】? 如图所示，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l₁：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l₁相交于点P.

(1)求圆A的方程；

(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程；[来源:学,科,网Z,X,X,K]

(3)B·B是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．

[审题视点] 　

[听课记录]

[审题视点] 第(1)问由圆A与直线l₁相切易求出圆的半径，进而求出圆A的方程；第(2)问注意直线l的斜率不存在时也符合题意，以防漏解，另外应注意用好几何法，以减小计算量；第(3)问分两种情况分别计算平面向量的数量积为定值后方可下结论．

解　(1)设圆A的半径为R，

∵圆A与直线l₁：x＋2y＋7＝0相切，

∴R＝＝2.

∴圆A的方程为(x＋1)²＋(y－2)²＝20.

(2)当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.

连接AQ，则AQ⊥MN.

∵|MN|＝2，∴|AQ|＝＝1，

由|AQ|＝＝1，得k＝.

∴直线l的方程为3x－4y＋6＝0，

∴所求直线l的方程为：x＝－2或3x－4y＋6＝0.

(3)∵AQ⊥BP，∴A·B＝0，

∴B·B＝(B＋A)·B

＝B·B＋A·B

＝B·B.

当直线l与x轴垂直时，得P，

则B＝，又B＝(1,2)．

∴B·B＝B·B＝－5.

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．

由解得P.

∴B＝.

∴B·B＝B·B＝－＝－5，

综上所述，B·B是定值，且B·B＝－5.

 (1)直线和圆的位置关系常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d及半弦长构成直角三角形关系来处理．

(2)要注意分类讨论，即对直线l分为斜率存在和斜率不存在两种情况分别研究，以防漏解或推理不严谨．

【突破训练2】在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x²－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．

(1)求圆C的方程；

(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

解　(1)曲线y＝x²－6x＋1与坐标轴的交点为(0,1)，(3±2，0)．

故可设圆的圆心坐标为(3，t)，

则有3²＋(t－1)²＝²＋t².

解得t＝1，则圆的半径为＝3.

所以圆的方程为(x－3)²＋(y－1)²＝9.

(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，其坐标满足方程组

消去y得到方程2x²＋(2a－8)x＋a²－2a＋1＝0，

由已知可得判别式Δ＝56－16a－4a²＞0，

由韦达定理可得x₁＋x₂＝4－a，x₁x₂＝，①

由OA⊥OB可得x₁x₂＋y₁y₂＝0.又y₁＝x₁＋a，y₂＝x₂＋a.

所以2x₁x₂＋a(x₁＋x₂)＋a²＝0.

由①②可得a＝－1，满足Δ＞0，故a＝－1.

常以直线、圆、圆锥曲线为载体结合平面向量来命题，考查解决解析几何问题的基本方法与技能，正成为高考命题新的生长点．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例3】已知抛物线C：y²＝4x的焦点为F，过点K(－1,0)的直线l与C相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D.

(1)证明：点F在直线BD上；

(2)设F·F＝，求△BDK的内切圆M的方程．

[审题视点] 　

[听课记录]

[审题视点] (1)设出A、B、D的坐标及l的方程，进而表示出直线BD的方程．再验证；(2)由·＝可求直线l，BD的方程，再由A、D关于x轴对称可设圆心M(t,0)，则M到直线l，BD的距离相等．

解　设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，D(x₁，－y₁)，l的方程为x＝my－1(m≠0)．

(1)证明：将x＝my－1代入y²＝4x并整理得y²－4my＋4＝0，从而y₁＋y₂＝4m，y₁y₂＝4.①

直线BD的方程为y－y₂＝·(x－x₂)，

即y－y₂＝·.

令y＝0，得x＝＝1.

所以点F(1,0)在直线BD上．[来源:学科网ZXXK]

(2)由(1)知，x₁＋x₂＝(my₁－1)＋(my₂－1)＝4m²－2，

x₁x₂＝(my₁－1)(my₂－1)＝1.

因为F＝(x₁－1，y₁)，F＝(x₂－1，y₂)，

F·F＝(x₁－1)(x₂－1)＋y₁y₂＝x₁x₂－(x₁＋x₂)＋1＋4

＝8－4m²，

故8－4m²＝，解得m＝±.

所以l的方程为3x＋4y＋3＝0,3x－4y＋3＝0.[来源:学§科§网]

又由①知y₂－y₁＝±＝±，

故直线BD的斜率＝±，

因而直线BD的方程为3x＋y－3＝0,3x－y－3＝0.

因为KF为∠BKD的平分线，故可设圆心M(t,0)(－1<t<1)，M(t,0)到l及BD的距离分别为，.

由＝得t＝或t＝9(舍去)，

故圆M的半径r＝＝.

所以圆M的方程为²＋y²＝.

 对直线与圆的综合性问题，要认真审题，学会将问题拆分成基本问题，然后综合利用数形结合思想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题，这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力．

【突破训练3】如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆＋＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C.连接AC，并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.

(1)当直线PA平分线段MN时，求k的值；

(2)当k＝2时，求点P到直线AB的距离d.

解　(1)由题设知，a＝2，b＝，故M(－2,0)，N(0，－)，所以线段MN中点的坐标为.由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以k＝＝.

(2)直线PA的方程为y＝2x，代入椭圆方程得＋＝1，解得x＝±，因此P，A.

于是C，直线AC的斜率为＝1，故直线AB的方程为x－y－＝0.因此，d＝＝.

直线问题“误”汇

易错点1：忽视截距为零或认为截距是距离的情况

【示例1】? 经过点(2,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是________________．

解析　(1)直线在两坐标轴的截距为0时，直线方程为y＝x.

(2)直线在两坐标轴的截距不为0时，设直线方程为x＋y＝a.因为点(2,1)在直线上，所以2＋1＝a，即a＝3.直线方程为x＋y＝3.故所求直线方程为y＝x或x＋y＝3.

答案　y＝x或x＋y＝3

老师叮咛：考生可能产生2种错误，第1种错误：忽视截距为零的情况，只答出第(2)种情况；第2种错误：认为截距是距离，把直线在两坐标轴上的截距互为相反数的也带进来，导致有错误答案为“所求直线方程为y＝x或x＋y＝3或x－y＝1”.

【试一试1】 已知直线l过点(2，－6)，它在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程．

解　当直线l过原点时，它在两坐标轴上的截距都是0，适合题意，此时直线方程为y＝x＝－3x，可化为3x＋y＝0；

当直线l不过原点时，设它在x轴上的截距为a(a≠0)，则它在y轴上的截距为2a，则直线的截距式为＋＝1，把点(2，－6)的坐标代入得－＝1，解得a＝－1，故此时直线的方程为－x－＝1，可化为2x＋y＋2＝0.

综上，直线的方程为3x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.

易错点2：忽视直线的斜率不存在的情况

【示例2】? 已知直线l过点(－2,0)，直线x＋2y－5＝0和3x－y－1＝0的交点到直线l的距离为3，求直线l的方程．

[满分解答]　由得，即直线x＋2y－5＝0和3x－y－1＝0的交点坐标为(1,2)．(2分)

(1)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝－2，点(1,2)到该直线的距离为3，适合题意．(6分)

(2)当直线l的斜率存在时，设为k，则直线l的点斜式方程为y＝k(x＋2)，可化为kx－y＋2k＝0.

依题意得＝3，

解得k＝－.

所以，此时直线l的方程为5x＋12y＋10＝0.(10分)

综上，直线的方程为x＋2＝0或5x＋12y＋10＝0.

(12分)

老师叮咛：忽视直线的斜率不存在的情形，也是一类常见错误.在相关问题中，需设直线的斜率时，一定要注意分析直线的斜率是否一定存在，不一定存在，就需分类讨论.

【试一试2】 已知直线l₁：ax－y＋2a＝0与直线l₂：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，则a等于(　　)．

A．1  B．0  C．1或0  D．1或－1

答案： C　[法一　依题意有a·(2a－1)＋(－1)·a＝0；解得a＝0或a＝1.

法二　①a＝0时直线l₂斜率不存在，直线l₁的斜率为0，两直线垂直．

②a≠0时，直线l₁的斜率为a，直线l₂的斜率为－，因为直线l₁与直线l₂垂直，所以a·＝－1，解得a＝1.故所求a值为0或1，选C.]

【试一试3】 C　[将圆C方程配方得：(x＋1)²＋(y＋2)²＝8，圆C的圆心坐标和半径分别是：C(－1，－2)，R＝2.设与直线l：x＋y＋1＝0平行且距离为的直线方程为x＋y＋m＝0，由＝知，m＝－1或m＝3.当m＝－1时，圆心到直线的距离d₁＝＝2＝R，直线与圆相切，满足要求的点只有一个；当m＝3时，圆心到直线的距离d₂＝＝0＜R，直线与圆相交，满足要求的点有两个．故满足要求的点共有3个．选C.]