高考数学难点突破23求圆锥曲线方程

难点23  求圆锥曲线方程

求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.

●难点磁场

1.(★★★★★)双曲线=1(b∈N)的两个焦点F₁、F₂，P为双曲线上一点，|OP|＜5,|PF₁|,|F₁F₂|,|PF₂|成等比数列，则b²=_________.

2.(★★★★)如图，设圆P满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长比为3∶1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程.

●案例探究

［例1］某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14 m，CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m.

 (1)建立坐标系并写出该双曲线方程.

(2)求冷却塔的容积(精确到10 m²,塔壁厚度不计，π取3.14).

命题意图：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力，属★★★★★级题目.

知识依托：待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分法求体积.

错解分析：建立恰当的坐标系是解决本题的关键，积分求容积是本题的重点.

技巧与方法：本题第一问是待定系数法求曲线方程，第二问是积分法求体积.

解：如图，建立直角坐标系xOy,使AA′在x轴上，AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴.

设双曲线方程为=1(a＞0,b＞0),则a=AA′=7

又设B(11,y₁),C(9,x₂)因为点B、C在双曲线上，所以有

由题意，知y₂－y₁=20,由以上三式得：y₁=－12,y₂=8,b=7

故双曲线方程为=1.

(2)由双曲线方程，得x²=y²+49

设冷却塔的容积为V(m³),则V=π,经计算，得V=4.25×10³(m³)

答：冷却塔的容积为4.25×10³m³.

［例2］过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.

命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强，属★★★★★级题目.

知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题.

错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键.

技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式.解法二，用韦达定理.

解法一：由e=,得,从而a²=2b²,c=b.

设椭圆方程为x²+2y²=2b²,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)在椭圆上.

则x₁²+2y₁²=2b²,x₂²+2y₂²=2b²,两式相减得，(x₁²－x₂²)+2(y₁²－y₂²)=0,

设AB中点为(x₀,y₀),则k_AB=－,又(x₀,y₀)在直线y=x上，y₀=x₀,于是－=

－1,k_AB=－1,设l的方程为y=－x+1.

右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),

由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)²=2b²,b²=.

∴所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=－x+1.

解法二：由e=,从而a²=2b²,c=b.

设椭圆C的方程为x²+2y²=2b²,l的方程为y=k(x－1),

将l的方程代入C的方程，得(1+2k²)x²－4k²x+2k²－2b²=0,则x₁+x₂=,y₁+y₂=k(x₁－1)+k(x₂－1)=k(x₁+x₂)－2k=－.

直线l：y=x过AB的中点(),则,解得k=0，或k=

－1.

若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.

［例3］如图，已知△P₁OP₂的面积为，P为线段P₁P₂的一个三等分点，求以直线OP₁、OP₂为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程.

命题意图：本题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，属★★★★★级题目.

知识依托：定比分点坐标公式；三角形的面积公式；以及点在曲线上，点的坐标适合方程.

错解分析：利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键，正确地表示出

△P₁OP₂的面积是学生感到困难的.

技巧与方法：利用点P在曲线上和△P₁OP₂的面积建立关于参数a、b的两个方程，从而求出a、b的值.

解：以O为原点，∠P₁OP₂的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系.

设双曲线方程为=1(a＞0,b＞0)

由e²=，得.

∴两渐近线OP₁、OP₂方程分别为y=x和y=－x

设点P₁(x₁, x₁),P₂(x₂,－x₂)(x₁＞0,x₂＞0),则由点P分所成的比λ==2,得P点坐标为(),又点P在双曲线=1上，所以=1,

即(x₁+2x₂)²－(x₁－2x₂)²=9a²,整理得8x₁x₂=9a²                                          ①

即x₁x₂=                                                          ②

由①、②得a²=4,b²=9

故双曲线方程为=1.

●锦囊妙计

一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.

定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.

定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx²+ny²=1(m＞0,n＞0).

定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.

●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)已知直线x+2y－3=0与圆x²+y²+x－6y+m=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则m等于(    )

A.3                              B.－3                           C.1                       D.－1

2.(★★★★)中心在原点，焦点在坐标为(0，±5)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为(    )

二、填空题

3.(★★★★)直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x²－4y²=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_________.

4.(★★★★)已知圆过点P(4，－2)、Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，则该圆的方程为_________.

三、解答题

5.(★★★★★)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的任意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M₁和M₂，且|M₁M₂|=，试求椭圆的方程.

6.(★★★★)某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长.

7.(★★★★★)已知圆C₁的方程为(x－2)²+(y－1)²=,椭圆C₂的方程为=1(a＞b＞0)，C₂的离心率为，如果C₁与C₂相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C₁的直径，求直线AB的方程和椭圆C₂的方程.

参考答案

难点磁场

1.解析：设F₁(－c,0）、F₂(c,0)、P(x,y),则

|PF₁|²+|PF₂|²=2(|PO|²+|F₁O|²)＜2(5²+c²),

即|PF₁|²+|PF₂|²＜50+2c²,

又∵|PF₁|²+|PF₂|²=(|PF₁|－|PF₂|)²+2|PF₁|·|PF₂|,

依双曲线定义，有|PF₁|－|PF₂|=4,

依已知条件有|PF₁|·|PF₂|=|F₁F₂|²=4c²

∴16+8c²＜50+2c²,∴c²＜,

又∵c²=4+b²＜,∴b²＜,∴b²=1.

答案：1

2.解法一：设所求圆的圆心为P(a,b），半径为r,则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|

∵圆P截y轴所得弦长为2，∴r²=a²+1

又由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°,故弦长|AB|=r,故r²=2b²,从而有2b²－a²=1

又∵点P(a,b)到直线x－2y=0的距离d=,

因此，5d²=|a－2b|²=a²+4b²－4ab≥a²+4b²－2(a²+b²)=2b²－a²=1,

当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d²=1,从而d取最小值，为此有,

∵r²=2b², ∴r²=2

于是所求圆的方程为：(x－1）²+(y－1)²=2或(x+1)²+(y+1)²=2

解法二：设所求圆P的方程为(x－a)²+(y－b)²=r²(r＞0)

设A(0,y₁),B(0,y₂)是圆与y轴的两个交点，则y₁、y₂是方程a²+(y－b)²=r²的两根，

∴y_1，2=b±

由条件①得|AB|=2，而|AB|=|y₁－y₂|,得r²－a²=1

设点C(x₁,0)、D(x₂,0)为圆与x轴的两个交点，则x₁,x₂是方程(x－a)²+b²=r²的两个根，

∴x_1，2=a±

由条件②得|CD|=r,又由|CD|=|x₂－x₁|，得2b²=r²,故2b²=a²+1

设圆心P(a,b)到直线x－2y=0的距离为d=

∴a－2b=±d,得a²=(2b±d)²=4b²±4bd+5d²

又∵a²=2b²－1,故有2b²±4bd+5d²+1=0.把上式看作b的二次方程，

∵方程有实根.

∴Δ=8(5d²－1)≥0,得5d²≥1.

∴d_min=,将其代入2b²±4bd+5d²+1=0,

得2b²±4b+2=0,解得b=±1.

从而r²=2b²=2,a=±=±1

于是所求圆的方程为(x－1)²+(y－1)²=2或(x+1)²+(y+1)²=2

歼灭难点训练

一、1.解析：将直线方程变为x=3－2y,代入圆的方程x²+y²+x－6y+m=0,

得(3－2y)²+y²+(3－2y)+m=0.

整理得5y²－20y+12+m=0,设P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂)

则y₁y₂=,y₁+y₂=4.

又∵P、Q在直线x=3－2y上，

∴x₁x₂=(3－2y₁)(3－2y₂)=4y₁y₂－6(y₁+y₂)+9

故y₁y₂+x₁x₂=5y₁y₂－6(y₁+y₂)+9=m－3=0，故m=3.

答案：A

2.解析：由题意，可设椭圆方程为： =1,且a²=50+b²,

即方程为=1.

将直线3x－y－2=0代入，整理成关于x的二次方程.

由x₁+x₂=1可求得b²=25,a²=75.

答案：C

二、3.解析：所求椭圆的焦点为F₁(－1,0),F₂(1,0),2a=|PF₁|+|PF₂|.

欲使2a最小，只需在直线l上找一点P.使|PF₁|+|PF₂|最小，利用对称性可解.?

答案： =1

4.解析：设所求圆的方程为(x－a)²+(y－b)²=r²

则有 

由此可写所求圆的方程.

答案：x²+y²－2x－12=0或x²+y²－10x－8y+4=0

三、5.解：|MF|_max=a+c,|MF|_min=a－c,则(a+c)(a－c)=a²－c²=b²,

∴b²=4,设椭圆方程为                                                                    ①

设过M₁和M₂的直线方程为y=－x+m                                                               ②

将②代入①得：(4+a²)x²－2a²mx+a²m²－4a²=0                                                  ③

设M₁(x₁,y₁)、M₂(x₂,y₂),M₁M₂的中点为(x₀,y₀),

则x₀= (x₁+x₂)=,y₀=－x₀+m=.

代入y=x,得,

由于a²＞4,∴m=0,∴由③知x₁+x₂=0,x₁x₂=－,

又|M₁M₂|=,

代入x₁+x₂,x₁x₂可解a²=5,故所求椭圆方程为： =1.

6.解：以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，

如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐标分别为(－10，－4）、(10，－4）

设抛物线方程为x²=－2py,将A点坐标代入，得100=－2p×(－4),解得p=12.5,

于是抛物线方程为x²=－25y.

由题意知E点坐标为(2，－4)，E′点横坐标也为2，将2代入得y=－0.16,从而|EE′|=

(－0.16)－(－4)=3.84.故最长支柱长应为3.84米.

7.解：由e=,可设椭圆方程为=1,

又设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),则x₁+x₂=4,y₁+y₂=2,

又=1,两式相减，得=0,

即(x₁+x₂)(x₁－x₂)+2(y₁+y₂)(y₁－y₂)=0.

化简得=－1,故直线AB的方程为y=－x+3,

代入椭圆方程得3x²－12x+18－2b²=0.

有Δ=24b²－72＞0,又|AB|=,

得，解得b²=8.

故所求椭圆方程为=1.