高三寒假数学复习：把做过的题拿来分解(2)

　　解 (Ⅰ)因为a1=1，a2=2，所以

　　a3=(1+cos2-)a1+sin2-=a1+1=2，

　　an=(1+cos2)a2+sin2=2a2=4.

　　一般地，当n=2k-1(k∈N*)时，a2k+1=[1+cos2-]a2k-1+sin2-=a2k-1+1，即a2k+1-a2k-1=1.

　　所以数列{a2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a2k-1=k.

　　当n=2k(k∈N*)时，a2k+2=1+cos2-=2a2k.

　　所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k=2k.

　　故数列{an}的通项公式为

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知，bn=-=-，

　　Sn=-+-+-+…+-①

　　-Sn=-+-+-+…+-②

　　①-②得，-Sn=-+-+-+…+---=---=1----

　　所以 Sn=2----=2--

　　要证明当n≥6时，|Sn-2|=-成立，只需证明当n≥6时，-<1成立。

　　(1)当n=6时，-=-=-<1成立.

　　(2)假设当n=k(k≥6)时不等式成立，即-<1.

　　则当n=k+1时， -=-×■<-<1.

　　由(1)、(2)所述，当n≥6时，-<1，即当n≥6时，|Sn-2|<-.

　　2.(08福建)如图、椭圆-+-=1(a>b>0)的一个焦点是F(1，0)，O为坐标原点。

　　(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

　　(Ⅱ)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，都有|OA|2+|OB|2<|AB|2,

　　求a的取值范围。

　　本题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.

　　解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，

　　因为△MNF为正三角形，所以|OF|=-|MN|,

　　即1＝-·■，解得b=-

　　a2=b2+1=4，因此，椭圆方程为-+-=1.

　　(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2).

　　(ⅰ)当直线 AB与x轴重合时，

　　|OA|2+|OB|2=2a2，|AB|2=4a2(a2>1)，因此，恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2

　　(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，

　　设直线AB的方程为：x=my+1，代入-+-=1，

　　整理得(a2+b2m2)y2+2b2my+b2-a2b2=0，

　　所以y1+y2=-，y1y2=-

　　因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2，所以∠AOB恒为钝角。

　　即OA·OB=(x1，y1)·（x2，y2)=x1x2+y1y2<0恒成立。

　　x1x2+y1y2=(my1+1)(my2+1)+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=---+1=-<0

　　又a2+b2m2>0，所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对m∈R恒成立，即a2b2m2>a2-a2b2+b2对m∈R恒成立。

　　当m∈R时，a2b2m2最小值为0，所以a2-a2b2+b2<0.

　　a2

　　因为a>0,b>0,所以a0,

　　解得a>-或a<-(舍去)，即a>-,

　　综合(i)(ii)，a的取值范围为(-，+∞).