条条大路都能走

附图是某街区的平面图。一中队少先队员要从学校（A 点）走到博物馆（B 点）去，他们在讨论：如果不走远路，即只向东（在图上是向右）或向北（在图上是向上）走的话，有多少种不同的走法？详细讨论的结果使他们大吃一惊；即使他们50名队员每人走一条不同的路线的话，还有一些路线没人使用。他们讨论的第二个问题是：这么多路线中哪一条最近？
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      答案：他们先一条一条路线去排，感到眼花缭乱，于是开始寻找规律。分析图中a、b、c、d四个点，站在a点看，有两条路从学校通过：一条自南向北，一条自西向东。而b点，除了从a点来以外，还有一条自南向北来的路，所以从学校到b点应有3条路线。d点到b点类似，也是3条。而c点，可从b点来也可从d点来，所以从学校到c的路线应是b、d路线数目的和，即3+3=6条。

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      于是，少先队员们找到了规律：要找学校到街区中任一点路线数目，只要把该点西面那一个点与南面那一个点的路线数相加就行了。用这个方法，孩子们迅速填出了左图。确定了从学校到博物馆共有70条不同的路线。

     而这70条路线是一样远的，因为即使你向东一步，向北一步交替走，你并没有沿着对角线走，走这样的折线线路是不能缩短旅程的。有趣的是，如果把街区的图案擦去仅留下各街口的数字，会得到一张重要的表格（见左上图）。南面第一条路是1，1，1，1，1，南二路是1，2，3，4，5，南三路是1，3，6，10，15，南三路的这列数很有用，正是上题说过的三角形数。我们还可以做几道乘法：11=11    11×11=121    11×11×11=1331    11×11×11×11=14641注意这些答数，如果你用一把尺从“街区”的东南角量到西北角的话（见左上图下方的斜线），你会发现这些数字的。