高中数学对称问题分类探析(2)

　　例3 方程xy2-x2y=2x所表示的曲线：

　　A、关于y轴对称 B、关于直线x+y=0对称

　　C、关于原点对称 D、关于直线x-y=0对称

　　解：在方程中以-x换x，同时以-y换y得

　　(-x)(-y)2-(-x)2(-y)=-2x，即xy2-x2y=2x方程不变

　　｀曲线关于原点对称。

　　函数图象本身关于直线和点的对称问题我们有如下几个重要结论：

　　1、函数f(x)定义线为R，a为常数，若对任意x∈R，均有f(a+x)=f(a-x)，则y=f(x)的图象关于x=a对称。

　　这是因为a+x和a-x这两点分别列于a的左右两边并关于a对称，且其函数值相等，说明这两点关于直线x=a对称，由x的任意性可得结论。

　　例如对于f(x)若t∈R均有f(2+t)=f(2-t)则f(x)图象关于x=2对称。若将条件改为f(1+t)=f(3-t)或f(t)=f(4-t)结论又如何呢？第一式中令t=1+m则得f(2+m)=f(2-m)；第二式中令t=2+m，也得f(2+m)=f(2-m)，所以仍有同样结论即关于x=2对称，由此我们得出以下的更一般的结论：

　　2、函数f(x)定义域为R，a、b为常数，若对任意x∈R均有f(a+x)=f(b-x)，则其图象关于直线x= 对称。

　　我们再来探讨以下问题：若将条件改为f(2+t)=-f(2-t)结论又如何呢？试想如果2改成0的话得f(t)=-f(t)这是奇函数，图象关于(0,0)成中心对称，现在是f(2+t)=-f(2-t)造成了平移，由此我们猜想，图象关于M(2，0)成中心对称。如图，取点A(2+t，f(2+t))其关于M(2，0)的对称点为A′(2-x，-f(2+x))

　　∵-f(2+X)=f(2-x)｀A′的坐标为(2-x，f(2-x))显然在图象上  

　　｀图象关于M(2，0)成中心对称。

　　若将条件改为f(x)=-f(4-x)结论一样，推广至一般可得以下重要结论：

　　3、f(X)定义域为R，a、b为常数，若对任意x∈R均有f(a+x)=-f(b-x)，则其图象关于点M(，0)成中心对称。