用导数求值域的方法证明高考不等式

欲证不等恒成立，差值函数求值域

(南宁许兴华选编)

对于比较简单的不等式恒成立证明问题，往往采取构造差值函数，结合判断正负的方法进行解决。下面我们以几道高考试题为例，谈一下这类问题的解决方法。

一.高考真题解析
[谋定思路有方向]

由导数公式，将已知不等式转化为关于a的不等式:
则a不小于lnx-x的最大值.而求这个函数的最值恰是导数的强项.

由符号法则可知，不等式
适当变形，构造出新的函数，从何获得证明.

[规范解答不失分]

【解后反思要升华】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了学生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想。

问题（I）求函数a的取值范围，其基本思路是将已知不等式
多次等价转换，分离出参数a，转而利用
的最大值（如果g(x)存在最大值）”，原问题转化为求函数g(x)的最大值;或者将原不等式等价转化为不等式的最大值不大于零。而求函数的最值恰好发挥了导数的解题功能。

对于问题（II），一个非常自然的想法是分两种情况讨论f(x)的符号，这是通法，方法1恰好支持了这一观点;如果换个角度思考，讨论f(x)=(x+1)lnx-x+1的符号，实质上就是讨论（x+1）[lnx-(x-1)/(x+1)]的取值符号。注意到p(1)=0,下面的思路就自然产生了:p(1)是函数p(x)的最值吗？如果是，那么函数p(x)就有统一的取值符号；如果不是，我们在看p(x)是否是单调函数？如果是，那么函数p(x) 在x=1左右两侧的取值符号也清楚了。这种有序的猜想、尝试、证明等思维方式，正是破解综合问题应有的基本数学素养。

【变式思考1】我们能否从问题（I）的解决过程中抽象出对我们有用的结论呢？

实际上，问题（I）的解决过程为我们提供了一个非常重要的不等式命题:显然,上述方法揭示出本题两问的内在联系，充分利用已有的结果和特殊与一般的辩证关系，使得第（II）问的解决如行云流水！从中你是否体会到数学思维的美妙？

间接，美妙的解法源于对问题本质的理解和对解题过程的变式感悟。如果不能发现不等式命题：

想要获得上述解法是不可想象的。

【变式思考2】

【21.2  变式练习】