高一高二必读：三角恒等变换的“五大技巧”

三角恒等变换问题在历年高考和自主招生试题中屡见不鲜,主要考查考生的逻辑推理和运算求解能力。下面着重分析各类试题中有关三角恒等变换的问题,主要剖析命题的切入点以及围绕三角恒等变换的解题方法和思路。

一、化切为弦,关注通法

通过化切为弦、正余互化等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类,这就是变换函数名法。它实质上是化归的思想,通过化归与转化有利于问题的解决或发现解题途径。

评析

本题是一道标准的“化切为弦”问题。本题还有一种变换方法如下:

按照常规的解题思路,大家习惯公式的正用,而不习惯“倒着想,反着用”。如果说公式的正用是拆分的过程,那么公式的逆用则是合并的过程。从思维上来讲,公式的逆用,体现了逆向思维,是一个配凑的过程,更体现了构造的思想,因此要求更高。

公式逆用中,考题常涉及辅助角公式。在用辅助角公式时经常会涉及三角函数中的二倍角公式、两角和与差的正余弦公式

评析

本题属于常规问题。第(1)问需要注意三角公式的化简,而第(2)问则需要注意三角函数在定区间上的最值问题。

我们已经构建了三角恒等变换的公式网络,出于公式的简洁性要求,更是出于角之间相互明了关系的表示,公式里的已知角α,β写成了单角的形式,但这并不意味着具体问题中的角一定就是这样的形式,还要从整体着眼,关注整体间的关系。

解三角恒等变换问题,除要熟悉公式网络以外,还要有强烈的目标意识,在目标的引领下,将已知条件进行转化,逐步推进,直至导出结论。

评析

初次接触本题,大多数考生都会感到无从下手,因为这里的角包含有θ,2θ,4θ,6θ。要想把角都化简为θ,明显工作量太大,毕竟涉及6倍角。可以把目标定位为2θ,这样4θ是2θ的二倍角,6θ是2θ的三倍角,θ是2θ的半角,因此操作起来必然事半功倍。

现在很多考生都要参加学校组织的自主招生考试,自主招生试题比普通高考试题的出题形式更灵活,知识面更广、更深,对考生的能力要求更高。

评析

要求cos(x+y)的值,根据已知条件,只需要平方处理即可;要求sin(x-y)的值,只需要和差化积公式处理即可。