方法指导：如何突破数学命题难点(3)

　　突破 判断如“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题的真假时，首先要确定命题的构成形式，然后判断其中各简单命题的真假，最后再利用真值表判断复合命题的真假.

　　例5 写出下列各命题的否定和否命题.

　　（1） 若x+y是偶数，则x，y都是奇数；

　　（2） 若xy=0，则x=0或y=0.

　　解析 （1） 命题的否定：若x+y是偶数，则x，y不都是奇数；否命题：若x+y不是偶数，则x，y不都是奇数.

　　（2） 命题的否定:若xy=0，则x≠0且y≠0；否命题:若xy≠0，则x≠0且y≠0.

　　突破 命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设，又否定结论.需注意“x=0或y=0”的否定是“x≠0且y≠0”而不是“x≠0或y≠0”；“x，y都是奇数”的否定是“x，y不都是奇数”而不是“x，y都不是奇数”.

　　4. “全称量词与存在量词”的难点在于全称命题和存在性命题的真假性判断以及含有一个量词的命题的否定

　　例6 判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，并判断真假.

　　（1） 有一个实数α，tanα无意义；

　　（2） 任何一条直线都有斜率；

　　（3） ?埚x＜0，使x2+x+5＜0；

　　（4） 自然数的平方是正数.

　　解析 （1） 存在性命题，当α=时，tanα无意义，因此原命题为真命题.

　　（2） 全称命题，当倾斜角为时，该直线斜率不存在，因此原命题为假命题.

　　（3） 存在性命题，由判别式可知Δ=1-4×5=-19＜0，所以对?坌x∈R，x2+x+5＞0，因此原命题为假命题.

　　（4） 全称命题，存在自然数0，其平方不是正数，因此原命题为假命题.

　　突破 ①要判定全称命题“?坌x∈M，p（x）”为真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p（x）成立；如果集合M中找到一个元素x0，使得p（x）不成立，那么这个全称命题为假命题.②要判定存在性命题“?埚x0∈M，p（x）”为真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得p（x0）成立即可；如果在集合M中，使p（x）成立的元素x不存在，那么这个存在性命题是假命题.

　　例7 写出下列命题的否定.

　　（1） 面积相等的三角形是全等三角形；

　　（2） 有些质数是奇数；

　　（3） 对?坌x∈R，x2+x+1=0都成立；

　　（4） ?埚x∈R，x2+2x+5＞0.

　　解析 （1） 原命题是全称命题，故其否定为:存在面积相等的三角形不是全等三角形.

　　（2） 原命题是存在性命题，故其否定为:所有的质数都不是奇数.

　　（3） 原命题是全称命题，故其否定为:?埚x∈R，使x2+x+1≠0.

　　（4） 原命题是存在性命题，故其否定为: 对?坌x∈R，x2+2x+5≤0都成立.

　　突破 全称命题与存在性命题的区别在于构成两种命题的量词不同.实质上，“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述，因此在书写全称命题与存在性命题的否定时，一定要抓住决定命题性质的量词，从对量词的否定入手书写命题的否定.全称命题的否定是存在性命题，而存在性命题的否定是全称命题.

　　1. （2011年安徽理科卷）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是______________.

　　2. （ 2011年山东文科卷）已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是________.

　　3. （2011年湖南文科卷）“x＞1”是“|x|＞1”的

　　__________条件.