数学教案－二次根式

一、教学目标 

1．了解二次根式的意义；

2. 掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题；

3. 掌握二次根式的性质 和 ，并能灵活应用；

4．通过二次根式的计算培养学生的逻辑思维能力；

5. 通过二次根式性质 和 的介绍渗透对称性、规律性的数学美.

二、教学重点和难点

重点：(1)二次根的意义；(2)二次根式中字母的取值范围．

难点：确定二次根式中字母的取值范围．

三、教学方法

启发式、讲练结合．

四、教学过程 

(一)复习提问

1．什么叫平方根、算术平方根？

2．说出下列各式的意义，并计算：

， ， ， ， ， ， ，

通过练习使学生进一步理解平方根、算术平方根的概念．

观察上面几个式子的特点，引导学生总结它们的被平方数都大于或等于零，其中 ，

， ， ， 表示的是算术平方根.

(二)引入新课

我们已遇到的 ， ， ，这样的式子是我们这节课研究的内容，引出：

新课：二次根式

定义： 式子 叫做二次根式.

对于 请同学们讨论论应注意的问题，引导学生总结：

（1）式子 只有在条件a≥0时才叫二次根式， 是二次根式吗？ 呢？

若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零，因此字母范围的限制也是根式的一部分.

（2） 是二次根式，而 ，提问学生：2是二次根式吗？显然不是，因此二次

根式指的是某种式子的“外在形态”．请学生举出几个二次根式的例子，并说明为什么是二次根式．下面例题根据二次根式定义，由学生分析、回答．

例1 当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？

分析： ， ， ， 、 、 、 四个是二次根式. 因为a是实数时，a+10、a2-1不能保证是非负数，即a+10、a2-1可以是负数(如当a＜-10时，a+10＜0；又如当0＜a＜1时，a2-1＜0），因此， 与 不是二次根式.

例2 x是怎样的实数时，式子 在实数范围有意义？

解：略．

说明：这个问题实质上是在x是什么数时，x-3是非负数，式子 有意义．

例3  当字母取何值时，下列各式为二次根式：

（1） (2) (3) (4)

分析：由二次根式的定义 ，被开方数必须是非负数，把问题转化为解不等式．

解：(1)∵a、b为任意实数时，都有a2+b2≥0，∴当a、b为任意实数时， 是二次根式.

（2）-3x≥0，x≤0，即x≤0时， 是二次根式.

（3） ，且x≠0，∴x＞0，当x＞0时， 是二次根式.

（4） ，即 ，故x-2≥0且x-2≠0, ∴x＞2.当x＞2时， 是二次根式.

例4  下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：

（1） ； （2） ； （3） ； （4）

分析：这个例题根据二次根式定义，让学生分析式子中字母应满足的条件，进一步巩固二次根式的定义，.即： 只有在条件a≥0时才叫二次根式，本题已知各式都为二次根式，故要求各式中的被开方数都大于等于零．

解：（1）由2a+3≥0，得 .

（2）由 ，得3a-1＞0，解得 .

（3）由于x取任何实数时都有|x|≥0，因此，|x|+0.1＞0，于是 ，式子 是二次根式. 所以所求字母x的取值范围是全体实数．

(4)由-b2≥0得b2≤0，只有当b=0时，才有b2=0，因此，字母b所满足的条件是：b=0．

(三)小结(引导学生做出本节课学习内容小结)

1．式子 叫做二次根式，实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式．

2．式子中，被开方数(式)必须大于等于零．

(四)练习和作业 

练习：

1．判断下列各式是否是二次根式

分析：（2） 中， ， 是二次根式；（5）是二次根式. 因为x是实数时，x、x+1不能保证是非负数，即x、x+1可以是负数（如x＜0时，又如当x＜-1时＝，因此（1）（3）（4）不是二次根式，（6）无意义.

2．a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

五、作业 

教材P．172习题11．1；A组1；B组1．

六、板书设计