一道得分率很低的数列求和题

有一道数列求和题，能得分的同学很少，题目如下：

不少同学拿到这种题，首先想到的是数列求和有哪些方法，什么基本数列法，错位相减法，裂项相消法，倒序相加法，并项求和法等等全部想一遍，似乎都做不出来。其实遇到数列求和题，首先不是想方法，而是应该“剖析通项”，通过通项公式的结构来决定到底用什么方法。

这道题的通项公式比较特别，是两个角的正切值相乘，我们首先应该想如何剖析这个通项，尤其要想一想在三角公式里面，有不有公式，其中含有两角的正切积。不难想到，两角和或两角差的正切公式里都含两角的正切积：

到底是用和角公式还是用差角公式呢？不难想到，用差角公式比较合理，为什么呢？因为(n+1)-n=1是个常数,而(n+1)+n=2n+1是个变数,而且差角公式里会出现两角的正切差，有可能可以使用裂项相消法，演示如下：

由此可见，解决数列求和问题时，剖析通项是关键，通过通项公式来想到运用什么样的方法。

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