手抄报图片:集合论下的函数
现代函数概念——集合论下的函数
1914年豪斯道夫(F.Hausdorff)在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数。其优点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念,其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”,即序偶(a,b)为集合{{a},{b}},这样,就使豪斯道夫的定义很严谨了。1930年新的现代函数定义为,若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应,则称在集合M上定义一个函数,记为y=f(x)。元素x称为自变元,元素y称为因变元。
函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革,形成了函数的现代定义形式,但这并不意味着函数概念发展的历史终结,20世纪40年代,物理学研究的需要发现了一种叫做Dirac-δ函数,它只在一点处不为零,而它在全直线上的积分却等于1,这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的,但由于广义函数概念的引入,把函数、测度及以上所述的Dirac-δ函数等概念统一了起来。因此,随着以数学为基础的其他学科的发展,函数的概念还会继续扩展。
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