名师详解：中考中的图形变换

 

图一 图二   　　随着新课改的实施，中考命题趋势逐步削弱了对传统数学问题的单纯考查，试题情境一般存在开放性、探索性、操作性(平移、旋转、翻折)，许多问题是以发现、猜测和探究为主线的新式题型。下面我们谈谈近几年中考的热点问题——图形变换。   　　图形变换包含平移、轴对称、旋转、位似四大变换，近年全国各地的中考数学试题出现了不少有关图形变换的试题。作为新增加的内容，图形与变换对于培养同学们空间观念、拓展几何的活动视野和研究途径，都具有其他内容无法替代的作用，因而，图形与变换在近年来的中考数学试题中占有较大的比重，近几年在天津市中考试卷中也出现了许多有关图形与变换的新题型，纵观三年天津卷可知：2008年有关图形变换的题目共占14分； 2009年共16分；2010年共占19分。由此可见，所含分值在逐年提高，不但如此，题目的灵活性和综合运用能力要求也在提高。天津卷连续三年在解答题第25题都考查了图形变换的相关内容，本文列举旋转变换和轴对称变换题型加以分析说明：   　　旋转   　　问题   　　旋转问题要明确旋转的三要素：旋转中心(绕着哪个点)、旋转方向(顺时针、逆时针)、旋转角度。除此之外，还要始终把握旋转的性质：   　　1.对应点到旋转中心的距离相等；2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3.旋转前、后的图形全等(旋转前后两图形的对应线段、对应角分别相等)。旋转问题可归结为点的旋转、线段的旋转和图形(一般为三角形)的旋转。在旋转问题中往往将陌生问题转化为我们熟知的三角形问题去解决，即要去寻找或构造等边三角形、等腰直角三角形、等腰三角形等，将题目由繁化简。   　　例1.(2010 天津)如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE=1。以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得△ABE'，连接EE'，则EE'的长等于 。 　　【答案】EE'=2■ 　　分析：此题是对学生勾股定理、等腰直角三角形和旋转的性质综合运用能力的考查。 　　∵旋转前后图形全等 　　∴由△ADE顺时针旋转90°后得△ABE'可知 　　△ADE≌△ABE'，即AE'=AE 　　∴△AE'E为等腰直角三角形 　　∴AE':AE:E'E=1:1:■，在Rt△ADE中，由勾股定理可知AE=■，故EE'=2■。   　　例2.(2010 安徽蚌埠)如图1、2是两个相似比为1：■的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合。   　　⑴在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E、F，如图4。求证：AE2+BF2=EF2；   　　⑵若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F，如图5，此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；   　　⑶如图6，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N，试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由。