装不进水的瓶子—克莱因瓶

1874年德国大数学家克莱因设计了一个瓶子，它装不进水，当然也就卖不出去，不过这个克莱因瓶却使人们，特别是数学家大开眼界。要使瓶子能够装水，必须有两个条件：第一，它盖上盖子后必须是封闭的，这是不言而喻的。一般人觉得这个条件就够了，在现实生活中也的确如此。可是克莱因说，单这个条件还不够，这个封闭曲面还必须是双侧的，也就是这个曲面必须有里外之分，换句话说，水在里面不能跑到外面来。可是哪里有里外不分的瓶子呢？在莫比乌斯带的启发下，克莱因认为有这种可能性。克莱因的办法是从一个两头开口的管子出发，如果把管子两头弯曲，一直弯曲到两头相遇，然后把它们粘接在一起，这样就得到了一个环面。现在改变一个办法，先将管子一端弄得一端稍粗一些，一端稍细一些，这从拓扑上讲是容许的，它还是圆柱形。
     然后把两头弯曲，把细的一头插到粗的一头的管壁之内，然后两头从里面相接近，在接口处可以看到两个同心圆，大的一头套着小的一头，最后把小口放大，大口缩小，两口重合粘接在一起，这样得到的曲面如同环面一样也是封闭的。但是，它是单侧的，“外面”的一个小虫沿曲面爬，最后也可以爬到里面。美中不足的是，克莱因瓶在三维空间中一定存在着自交点，只有到了 4维空间，它才有一个正则的嵌入。正如射影平面可以通过环面对顶点相粘合而成。克莱因瓶也可以通过球面对顶点相粘合而成。我们可以把克莱因瓶沿着一条闭曲线剪开，这样我们就得到两条莫比乌斯带。因此，我们也可以把克莱因瓶看成二条莫比乌斯带沿公共边界相粘接而成，它的单侧性就更容易看出来了。