地球上两点间最短航线—测地线

当你走在旷野中，如果没有特殊的道路，自然会选择连结两点的最短路线，因为在一个平面上两点之间直线最短。可是，如果在一望无际的茫茫大海中航行，或者在10000米的云端飞行，什么是最短的路线呢？从数学上看，也就是求一个曲面上两点之间的短程线或测地线，它相当于曲面上的“直”线。平面上的直线有三个突出的性质：（1）方向不变；（2）不弯曲；（3）是两点间的最短距离。但是，曲面上的测地线显然不能完全满足这个要求，但是我们尽量接近这些要求：
     （1）曲面上每一点有一个切平面，它在这点的垂线称为这点的法方向。曲面上的曲线每一点有切线，与切线垂直的有一个法平面，法平面上有两个互相垂直的方向，称为主法线和从法线。对于测地线，它每点的主法线与曲面的法方向平行，也就是测地线相对于曲面保持方向不变的性质。
     （2）弯曲程度是用曲率来衡量的，直线的曲率等于0。曲面上的曲线一般很复杂，曲率甚至挠率都一般不等于 0，因此，我们期望曲率尽可能小。如果是球面，连接其上两点的平面曲线有大圆（平面通过球心）和小圆（如两点同一纬度的纬线圈），显然，大圆的曲率小，小圆的曲率大。因此，球面上的测地线是大圆弧。因此，从美国到东北亚的飞机航线不是通过夏威夷，而是要通过北极圈，因为大圆才是最近的航线。对于一般的曲面上的曲线，我们定义一个测地曲率，与直线的情形相类似，测地线的测地曲率处处为0。
     （3）在一个球面或更复杂的曲面上，两点之间可以用任意长的曲线连结，因此不存在最长线，但是测地线也不一定就是最短线。以球面为例，连结两点的大圆可以分成短弧和长弧，只有短弧是最短线，而长弧部分就不是。对于一般曲面，通过微分几何学只能证明，两个无限接近的两点之间存在唯一一条测地线。但在一般情况下，这问题就比较复杂了，这时就涉及大范围的问题。历史上一个著名问题是一个凸闭曲面上至少存在三条没有自交点封闭测地线，这个定理在30年代已被证明，现在知道一般的紧闭曲面可以存在无穷多条闭测地线，这正如球面上存在无穷多个大圆一样。