群与几何学—埃尔兰根计划

1872 年克莱因发表埃尔兰根计划，目的是用群的观点来统一各种几何学。他的基本观点是：每种几何学都由变换群所刻划，每种几何学所要研究的就是几何图形在其变换群下的不变量。而一门几何学的子几何学就是研究原来变换群的子群下的不变量。射影变换群的一个子群是仿射变换群，仿射变换群保持一条直线l∞不变，因此仿射几何学是射影几何学的子几何学，射影变换下的不变量除了射影几何学的不变量之外，还有把直线变成直线、平行直线变成平行直线等性质。仿射几何学虽然早已出现在欧拉及莫比乌斯的著作中，但克莱因在他的计划中并没有提到。克莱因进一步考虑了主变换群，实际上是相似变换群，相应的几何是相似几何学，相似变换群的群是运动群，相应几何学是欧几里得几何学。
     类似地，他进一步刻划双曲度量几何，也就是研究射影平面上使一个任意的、实的、非退化的二次曲线保持不变的所有变换所构成的子群下的不变量，这个子群叫作双曲度量群，相应的几何学叫乍双曲几何学，其中的不变量是合同有关的那些量。同样，单纯椭圆几何学所研究的变换是使射影平面上一个虚椭圆不变。而二重椭圆几何学则使三维空间中的球面保持不变的三维射影变换群的子群。这样他统一了射影几何学及各种度量几何学。克莱因的计划不仅在于统一点几何学，而且从变换群观点出发，把其他类型的几何学与任意空间元素的几何都统一在一起，并且指出与它们相对应的代数理论：例如二次型理论同具有一条基本圆锥曲线的平面射影几何学等价，空间射影几何学与四元二次型理论等价，而线几何学与五维射影空间中二次流形的射影几何等价，平面反演几何学与四维射影空间中二次流形的射影几何等价，而且复二次型理论可以通过实球面射影几何学来表示。因此，二次型理论、反演几何学、直线几何学是互相对应，它们的区别只是变无数目不同，而这自然把几何引导到高维中去。这样几何的对象再也不是空间中的曲线、曲面和立体了。
     克莱因进一步推广了这种观点，他提出更一般的问题，给了一个流形和这个流形的一个变换群，以在这个变换群的变换之下其性质保待不变的观点研究这个流形的实体。在这广义的意义下，克莱因考虑的不仅仅是通常以点为基础的几何学，而且考虑以任何一种点集为基础的几何学。例如圆几何及球几何也可以看成研究某些射影变换群的某些子群的不变性质，而且还更进一步扩大他的计划的应用范围：代数几何学研究双有理变换下的不变性，拓扑学研究连续变换下的不变性等。虽然并非所有几何学都可以纳入克莱因的分类框架，但是这种观点至今对几何学仍有影响，特别是强调变换下的不变性，对于力学及物理学思想的推动，大大超出了数学的范围之外。