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神秘的柏拉图立体—正多面体

  • 日期:2009-08-25 09:41
  • 来源: 互联网
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我们生活在三维空间,具有多姿多彩的立体无时无刻不在吸引着我们。但是,从数学上研究这就太多了。在平面几何中,我们研究基本的图形:三角形、矩形等直线形和圆等曲线。同样立体几何,我们也从直线形开始,相当于三角形的是四面体,相当于正方形的是立方体,这都是常见的,除此之外呢?为了简单起见,我们先考虑正多面体,也就是所有的面都是全等的正多边形。由天然的晶体我们已经认识到,有正四面体、正六面体(正立方体)、正八面体。而十二面体及二十面体的准晶直到不久前才在实验室中产生出来。但是,通过人类的丰富想象,它们很早就在人类的思维中诞生。1885年在意大利娄法山中发掘出公元前500年左右埃特卢斯卡人的正12面体玩具,而希腊人泰阿泰德也知道正12面体和正20面体。不管怎样,首次对正多面体的系统描述是古希腊大哲学家柏拉图,他在《蒂迈欧编》把正多面体与宇宙的结构联系在一起。当时希腊人认为宇宙元素由火、气、水、土四个元素构成,于是柏拉图做出下列对应:火——正四面体气——正八面体土——正六面体水——正二十面体开普勒发展了这种神秘思想,他直观地认为正四面体具有某种极小性质,即一定表面积,体积极小,因此代表最干的土。
     同样,20面体体积极大,因此代表最湿的水。正六面体最稳定,代表地,正八面体最不稳定,因此代表易流易动的气。而正十二面体恰巧对应黄道十二宫,从而它代表宇宙普遍元素。柏拉图和开普勒的神秘主义当然是无稽之谈,但从数学上看,有三点值得注意:一是他论述,这些多面体都可由等边三角形的一半、正方形的一半以及正五边形生成,这实际上预示着后来的组合多面体论乃至组合拓扑学。二是体积、表面积关系,这是数学上一个极重要的问题。一方面涉及体积、表面积计算问题,另一方面涉及极值问题及密堆积问题。三是正多面体只有五个,一个不多,一个不少。严格讲,这并不正确,这个定理只对正凸多面体成立,而如果不要求凸性成立,则还有四种正多面体,二种是开普勒发现的,另外两种一直到19世纪初才由普安索得到。

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