排序不等式可以解决复杂不等式问题

日期：2019-09-02 13:38
来源: 未知
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什么是排序不等式?

今天我们来讲一讲排序不等式，排序不等式是数学上的一种不等式。它可以推导出很多有名的不等式，例如：算术几何平均不等式(简称算几不等式)、柯西不等式、切比雪夫总和不等式。排序不等式（sequence inequality,又称排序原理）是高中数学竞赛大纲、新课标普通高中课程标准试验教科书（人民教育出版社）数学（选修4-5 第三讲第三节）要求的基本不等式。

说明：

排序不等式表述如下，设有两组数a1,a2,……an和b1,b2,……bn，满足a1≤a2≤……≤an,b1≤b2≤……≤bn，c1,c2,……cn是b1,b2,……bn的乱序排列，则有a1bn+a2bn-1+……+anb1≤a1c1+a2c2+……+ancn≤a1b1+a2b2+anbn,当且仅当a1=a2=……=an或b1=b2=……=bn时等号成立。一般为了便于记忆，常记为：反序和≤乱序和≤顺序和.

排序不等式的证明：

①分析法

要证

只需证

根据基本不等式

∴原结论正确

②设有两个有序数组：

及

求证：

(顺序和≥乱序和≥逆序和)

其中

是自然数的任何一个排列

证明：令

由题设易知

因为

故

所以

即左端不等式，类似可证明右端不等式

排序不等式可以解决复杂不等式问题

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