2017年中考数学角度和差关系证明题遗留问题解答

上一篇文章遗留的两道题目，已经有部分网友同学作出了解答，今天在这里我们将详细的解答过程呈现给大家，希望对大家解决这一类问题有所帮助。

实例2：

如图三角形ABC有外接圆O，三角形的边AC>AB，D点为弧BC的中点，连接AO,DO,AD

证明∠ADO=(∠B-∠C)/2

题目解析：

这道题涉及到的三个角度∠ADO，∠B，∠C从图中看是很难直接建立关系的，更不用说角度差和倍分的关系了。因为?ABC的三个顶点在圆上，所以∠B，∠C可以看做是对应弧的圆周角，利用这一点我们就可以做一些等角变换了。

证明：

作如下辅助线：

连接BD,CD,

在弧AC上靠近C一侧做弧CE等于弧AB，连接ED。

延长DO交圆于F点

由于同一圆弧对应的圆周角相等

所以有：

∠B=∠ADC（弦AC对应两个圆周角）

∠C=∠ADB（弦AB对应两个圆周角）

又弧AB=CE，所以∠ADB=∠CDE

所以∠B-∠C=∠ADC-∠ADB=∠ADC-∠CDE=∠ADE ①

由于D是弧BC的中点，O是圆心，所以F点是也是弧BAEC的中点，而弧BA=CE，所以F点也是弧AE的中点

所以∠ADF=∠EDF

也即：∠ADE=2∠ADO ②

结合①，②

有∠ADO=(∠B-∠C)/2

接下来看看实例3：

延长四边形ABCD的一组对边AB,DC交于E，AD,BC交于F点，若∠E, ∠F的角平分线交于O，则∠EOF=(∠A+∠C)/2

这道题目不像上一道题目可以利用圆内同弧对等角的性质进行角度转换，这些角度在三角形或者四边形内，而且对三角形，四边形的形状没有任何约束，所以单个角度的值也是不确定的。

那么在这样的情况下，我们是否还能作辅助线将待证明的角度腾挪呢？ 答案是否定的。

不知大家是否还记得上篇文章中的讲解角度和差的那个实例。

即是利用简单的外角和进行代数计算转换最后得出我们想要的结论，这一道题也必须采用这样的方法。

证明：

如图OE与BF交于H点。

∠C=180°-∠BCE

而∠BCE=180°-∠CEB-∠CBE

而∠CBE=∠A+∠AFB

代入得到

∠C=∠A+ ∠AFB+∠CEB ①

接下来我们计算∠EOF

我们看?FOH 和?BHE

∠EOF=180°-∠OFB-∠OHF

而∠OFB=∠AFB/2

∠OHF=∠BHE=180°-∠BEH-∠HBE

而∠BEH=∠CEB/2

∠HBE=∠A+∠AFB

所以有

∠EOF=∠A+∠AFB/2+∠CEB/2 ②

②*2-①得到

∠EOF=(∠A+∠C)/2