高考数学难点39化归思想

难点39  化归思想

化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想.等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.

●难点磁场?

1.（★★★★★）一条路上共有9个路灯，为了节约用电，拟关闭其中3个，要求两端的路灯不能关闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为      .

2.（★★★★★）已知平面向量a=(–1),b=().

（1）证明a⊥b;

（2）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t²–3)b，y=–ka+tb，且x⊥y，试求函数关系式k=f(t);

（3）据（2）的结论，讨论关于t的方程f(t)–k=0的解的情况.

●案例探究?

［例1］对任意函数f(x), x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：

①输入数据x₀∈D，经数列发生器输出x₁=f(x₀)；

②若x₁D，则数列发生器结束工作；若x₁∈D，则将x₁反馈回输入端，再输出x₂=f(x₁)，并依此规律继续下去.

现定义

（1）若输入x₀=，则由数列发生器产生数列{x_n}，请写出{x_n}的所有项；

（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x₀的值；

（3）若输入x₀时，产生的无穷数列{x_n}，满足对任意正整数n均有x_n＜x_n+1；求x₀的取值范围.

命题意图：本题主要考查学生的阅读审题，综合理解及逻辑推理的能力.属★★★★★级题目.

知识依托：函数求值的简单运算、方程思想的应用.解不等式及化归转化思想的应用.解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言.

错解分析：考生易出现以下几种错因：（1）审题后不能理解题意.（2）题意转化不出数学关系式，如第2问.（3）第3问不能进行从一般到特殊的转化.

技巧与方法：此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目.由于陌生不易理解并将文意转化为数学语言.这就要求我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换.

解：（1）∵f(x)的定义域D=（–∞,–1)∪(–1,+∞)

∴数列{x_n}只有三项，

（2）∵,即x²–3x+2=0

∴x=1或x=2，即x₀=1或2时

故当x₀=1时，x_n=1，当x₀=2时，x_n=2（n∈N^*）

（3）解不等式，得x＜–1或1＜x＜2

要使x₁＜x₂，则x₂＜–1或1＜x₁＜2

对于函数

若x₁＜–1，则x₂=f(x₁)＞4，x₃=f(x₂)＜x₂

若1＜x₁＜2时，x₂=f(x₁)＞x₁且1＜x₂＜2

依次类推可得数列{x_n}的所有项均满足

x_n+1＞x_n（n∈N^*)

综上所述，x₁∈(1,2)

由x₁=f(x₀),得x₀∈(1,2).

［例2］设椭圆C₁的方程为(a＞b＞0)，曲线C₂的方程为y=，且曲线C₁与C₂在第一象限内只有一个公共点P.

（1）试用a表示点P的坐标；

（2）设A、B是椭圆C₁的两个焦点，当a变化时，求△ABP的面积函数S(a)的值域；

（3）记min{y₁,y₂,……,y_n}为y₁,y₂,……,y_n中最小的一个.设g(a)是以椭圆C₁的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式.

命题意图：本题考查曲线的位置关系，函数的最值等基础知识，考查推理运算能力及综合运用知识解题的能力.属★★★★★级题目.

知识依托：两曲线交点个数的转化及充要条件，求函数值域、解不等式.

错解分析：第（1）问中将交点个数转化为方程组解的个数，考查易出现计算错误，不能借助Δ找到a、b的关系.第（2）问中考生易忽略a＞b＞0这一隐性条件.第（3）问中考生往往想不起将min{g(a),S(a)}转化为解不等式g(a)≥S(a).

技巧与方法：将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题，是应用化归思想的灵魂.要求必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标、转化有桥梁、转化有效果.

解：（1）将y=代入椭圆方程，得

化简，得b²x⁴–a²b²x²+a²=0

由条件，有Δ=a⁴b⁴–4a²b²=0，得ab=2

解得x=或x=–（舍去）

故P的坐标为().

(2)∵在△ABP中，｜AB｜=2，高为,

∴

∵a＞b＞0,b=

∴a＞,即a＞,得0＜＜1

于是0＜S（a）＜，故△ABP的面积函数S(a)的值域为(0,)

(3)g(a)=c²=a²–b²=a²–

解不等式g(a)≥S(a)，即a²–≥

整理，得a⁸–10a⁴+24≥0，即(a⁴–4)(a⁴–6)≥0

解得a≤（舍去）或a≥.

故f(a)=min{g(a), S(a)}

●锦囊妙计?

转化有等价转化与不等价转化.等价转化后的新问题与原问题实质是一样的.不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正.

应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化.常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化.

●歼灭难点训练?

一、选择题

1.（★★★★）已知两条直线l₁:y=x,l₂:ax–y=0，其中a∈R，当这两条直线的夹角在(0,)内变动时，a的取值范围是(    )

A.（0，1）                        B.（，）

C.（，1）∪（1，）        D.（1，）

2.（★★★★）等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别用S_n和T_n表示，若，则的值为(    )

A.             B.1            C.              D.

二、填空题

3.（★★★★）某房间有4个人，那么至少有2人生日是同一个月的概率是         .（列式表示即可）

4.（★★★★★）函数f(x)=x³–3bx+3b在（0，1）内有极小值，则b的取值范围是        .

三、解答题

5.（★★★★）已知f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t),(t∈R是参数）.

(1)当t=–1时，解不等式f(x)≤g(x);

(2)如果x∈［0,1］时，f(x)≤g(x)恒成立，求参数t的取值范围.

6.（★★★★★）已知函数f(x)=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，n∈N^*且a₁、a₂、a₃、……、a_n构成一个数列{a_n}，满足f(1)=n².

（1）求数列{a_n}的通项公式，并求；

（2）证明0＜f()＜1.

7.（★★★★★）设A、B是双曲线x²–=1上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点.

（1）求直线AB的方程；

（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

8.（★★★★★）直线y=a与函数y=x³–3x的图象有相异三个交点，求a的取值范围.

参 考 答 案

●难点磁场

1.解析：9个灯中关闭3个等价于在6个开启的路灯中，选3个间隔（不包括两端外边的装置）插入关闭的过程?故有C=10种?

答案：10

2.(1)证明：∵a·b==0，∴a⊥b

(2)解：∵x⊥y,∴x·y=0

即［a+（t²–3)b］·(–ka+tb)=0，整理后得

–ka²+［t–k(t²–3)］a·b+t(t²–3)·b²=0

∵a·b=0,a²=4,b²=1

∴上式化为–4k+t(t²–3)=0，∴k=t(t²–3).

(3)解：讨论方程t(t²–3)–k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=t(t²–3)与直线y=k的交点个数?

于是f′(t)=(t²–1)=(t+1)(t–1).

令f′(t)=0,解得t₁=–1,t₂=1.当t变化时，f′(t),f(t)的变化情况如下表：

t

(–∞,–1)

–1

(–1,1)

1

(1,+∞)

f′(t)

+

0

–

0

+

f(t)

↗

极大值

↘

极小值

↗

当t=–1时，f(t)有极大值，f(t)_极大值=；

当t=1时，f(t)有极小值，f(t)_极小值=–.

而f(t)=(t²–3)t=0时，得t=–,0,.

所以f(t)的图象大致如右：

于是当k>或k<–时，直线y=k与曲线y=f(t)仅有一个交点，则方程有一解；

当k=或k=–时，直线与曲线有两个交点，则方程有两解；当k=0，直线与曲线有三个交点，但k、t不同时为零，故此时也有两解；当–<k<0或0<k<时，直线与曲线有三个交点，则方程有三个解?

●歼灭难点训练

一、1.解析：分析直线l₂的变化特征，化数为形，已知两直线不重合，因此问题应该有两个范围即得解?

答案：C

2.解析：化和的比为项的比∵.

∴,取极限易得?

答案：A

二、3.解析：转化为先求对立事件的概率?即四人生日各不相同的概率?

答案：

4.解析：转化为f′(x)=3x²–3b在（0，1）内与x轴有两交点?只须f′(0)<0且f′(1)>0.

答案：0<b<1

三、5.解：(1)原不等式等价于

即  ∴x≥

∴原不等式的解集为{x|x≥}.

(2)x∈［0,1］时，f(x)≤g(x)恒成立.∴x∈［0,1］时恒成立.即恒成立

即x∈［0,1］时，t≥–2x+恒成立，于是转化为求–2x+,x∈［0,1］的最大值问题?

令μ=,则x=μ²–1,则μ∈［1,］.

∴2x+=–2(μ–)²+.

当μ=1即x=0时，–2x+有最大值1

∴t的取值范围是t≥1.

6.(1)解：{a_n}的前n项和S_n=a₁+a₂+…+a_n=f(1)=n²,由a_n=S_n–S_n–1=n²–(n–1)²=2n–1(n≥2),又a₁=S₁=1满足a_n=2n–1.故{a_n}通项公式为a_n=2n–1(n∈N^*)

∴

(2)证明：∵f()=1·+3·+…+(2n–1)         ①

∴f()=1·+3·+…+(2n–3)+(2n–1)   ②

①–②得：f()=1·+2·+2·+…+2·–(2n–1)·

∴f()=++++…+–(2n–1)=1–.

∵ (n∈N^*)

∴0<<1,∴0<1–<1，即0<f()<1

7.解：(1)设AB∶y=k(x–1)+2代入x²–=1.

整理得（2–k²）x²–2k(2–k)x–(2–k)²–2=0       ①

设A(x₁,y₁)、B（x₂,y₂),x₁,x₂为方程①的两根?

所以2–k²≠0且x₁+x₂=.又N为AB中点，

有（x₁+x₂）=1.∴k(2–k)=2–k²,解得k=1.故AB∶y=x+1.

(2)解出A（–1，0）、B（3，4）?得CD的方程为y=3–x.与双曲线方程联立.消y有x²+6x–11=0           ②

记C(x₃,y₃)、D(x₄,y₄)及CD中点M(x₀,y₀)由韦达定理可得x₀=–3,y₀=6.

∵|CD|=

∴|MC|=|MD|=|CD|=2.

又|MA|=|MB|=.即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆.

8.提示：f′(x)=3x²–3=3(x–1)(x+1)易确定f(–1)=2是极大值，f(1)=–2是极小值.当–2<a<2时有三个相异交点.