高考数学重点突破：转化和化归数学思想

数学问题的解答离不开转化与化归。它既是一种数学思想又是一种数学能力。高考对这种思想方法的考查所占比重很大，是历年高考考查的重点。诸如常量与变量的转化、数与形的转化、实际问题向数学模型的转化、以及数学各分支之间的转化都是高考的热点问题。特别是实施新课标之后，高考考题不再向数学知识的纵深发展，而是以基础知识为出发点，转化与化归思想在解决问题中起到了更大的作用。

化归是转化与归结的简称，其基本内涵是：人们在解决数学问题时，常常将待解决的问题A，通过某种转化手段，归结为另一问题B，而问题B是相对较容易解决的或已经有固定解决模式的问题，且通过问题B的解决可以得到原问题A的解。用框图可直观地表示为：

其中问题B称为化归目标或方向，转化的手段称为化归策略。化归思想有着坚实的客观基础，它着眼于揭示联系，实现转化，通过矛盾转化解决问题。

化归的原则

1、目标简单化原则，即复杂的问题向简单的问题转化；

2、和谐统一性原则，即化归应朝着待解决的问题在表现形式上趋于和谐，在量、形、关系上趋于统一的方向进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当；

3、具体化原则，即化归方向应由抽象到具体；

4、低层次原则，即将高维空间问题化归成低维空间问题。基于上述原则，化归就有一定的策略。我们在应用化归方法时，应“有章可循，有法可依”通常可以从以下几个方面去考虑：

1、抽象问题与具体问题化归；

2、一般问题与特殊问题化归；

3、正向思维与逆向思维化归；

4、命题与等价命题化归。

典型例题：

转化与化归的常见方法

1、直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题。

2、换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题。

3、数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径。

4、参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化。

5、构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题。

6、坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径。

7、类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径。

8、特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题。

9、一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化。

10、等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的。

11、加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即把命题的结论加强为原命题的充分条件，从而能将原命题转化为一个较易证明的命题。加强命题法是非等价转化方法。

12、补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集?UA获得原问题的解决。

以上所列的一些方法是互相交叉的，不能截然分割。