如果正面证明有困难时,或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时,可以考虑用反证法。反证法不仅在几何中有着广泛的应用,而且在代数中也经常出现。用反证法证明不等式就是最好的应用。
要证明不等式A>B,先假设A≤B,然后根据题设及不等式的性质,推出矛盾,从而否定假设。要证明的不等式中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼,若正面难以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法。
例1、设a,b,c,d均为正数,求证:下列三个不等式①a+b<c+d,②,③中至少有一个不正确。
证明:假设不等式①、②、③都成立,因为a,b,c,d都是正数,所以由不等式①、②得,。
由不等式③得,
因为,所以
综合不等式②,得,即
由不等式④,得,即,显然矛盾。
∴不等式①、②、③中至少有一个不正确。
例2、已知求证:。
证明:由知≠0,假设,则
又因为,所以,即
从而,与已知矛盾。
∴假设不成立,从而
同理,可证。
例3、若,求证:。
证明:假设,则,即。
因为所以
故
又,,即
∴,即,不成立。
故假设不成立,即。
例4、设a,b,c均为小于1的正数,求证:,不能同时大于。
证明:假设同时大于,即,,。
则由,可得
同理,,
三个同向不等式两边分别相加,得,所以假设不成立。
∴原结论成立。
例5、若,,,求证:,不能同时大于1。
证明:由题意知
假设有
那么
同理,
①+②+③,得矛盾,假设不成立。
故,,不能同时大于1。
推荐内容
教育新鲜事