算术平均数与几何平均数课前预习

　　学法导引

　　算术平均数与几何平均数之间的不等关系式（简称为均值不等式），是中学数学中最基本、最重要的几种不等式之一．它在证明不等式和求最值问题时，起基础性、工具性的作用．学习时要正确理解定理中的条件和结论以及定理变形后的基本结构特征．由它求最值时，特别要验证其中“＝”号成立的条件是否具备．当不具备直接运用均值不等式的条件时，可以对目标式进行拼凑、分拆等变形，再判断能否运用．若仍然不具备条件，则应该寻求其他途径来解决．

　　知识要点精讲

　　推论的结论通常简称为均值不等式，它表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

　　注意：定理以及推论中当且仅当a＝b时取“＝”号的含义是：一方面当a＝b时，结论中取“＝”号；另一方面，结论中取“＝”号时，必有a＝b．可见a＝b是取“＝”号的充要条件．

　　思维整合

　　【重点】本节的重点是定理和它的推论的应用，

　　解题时，应注意对式子进行变形，凑配出定理或推论应满足的条件，这是常用的方法与技巧，在连续多次使用定理或推论时，“＝”号成立的条件是每次使用时“＝”号都能取得到，即各次取“＝”号的条件应是能相容的．

　　【难点】本节的难点是均值不等式的常见的变形后的形式以及它们的应用．如：

　　【易错点】利用均值不等式求最值时容易忽视其前提条件：一正（目标式中各项必须都是正数）；二定（求和的最小值，要求积必须为定值，而求积的最大值，要求和必须为定值）；三相等（目标式中各项能够相等）．上述三个条件全都满足时，才能直接运用均值不等式求最值，所求的结果才是目标函数的最值．

　　精典例题再现

　　【解析重点】

　　例：若正数a、b满足条件ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．

　　［解析］由于已知条件中涉及到了ab与a＋b的关系，而目标就是求ab的范围，所以可以直接由均值不等式将条件式转化为关于ab的不等式来解．另外也可以从条件式中解出b（或a）代入目标式转化为求函数的值域．

　　因此ab的范围是［9，＋∞）．

　　点拨：解涉及多变量的代数式的条件最值问题，通常可由均值不等式来解，也可以通过消元转化为一个变量的函数问题来解．

　　点拨：对于一些不等式，如果形式上比较复杂，但有一定的规律，则可采用变量代换方法，把问题变明显后再应用均值不等式．

　　【应用创新能力升级】

　　例：已知f（x）是定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数，f（1）＝0，
　　点拨含有参数的不等式的恒成立问题，如果能成功实现参数分离，则可利用求最值的方法确定参数的取值范围．
　　例：某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销．在一年内，

　　已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．

　　（1）试将年利润W万元表示为年广告费x万元的函数；

　　（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大，最大利润为多少?

　　［解析］年利润W＝年销售收入－生产成本－广告费，其中年销售收入＝销售量×单价．明白了这些关系即可求解．

　　点拨在应用平均值不等式解决实际问题时，要注意：

　　（1）认真审题，理解题意，设出变量，把要求最值的变量定为目标函数；

　　（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；

　　（3）在定义域内，求出函数的最值；

　　（4）正确写出答案，回答实际问题．

　　高考热点点拨

　　由于新课程标准中删去了三个正数的算术平均数与几何平均数的不等式（只作为学生的阅读材料），只要求掌握两个正数的算术平均数与几何平均数的不等式，这使得它的地位更加突出了．均值不等式及其变形式的应用一直是高考考查的热点，从选择题、填空题到解答题中都有涉及对它的考查的问题．作为基础性、工具性的知识融会到其他问题中进行考查是今后的发展趋势．

　　点拨本题的关键是换元、发现其积为定值．

　　例：（2003年，海淀模拟）某小区欲建一面积为a平方米的矩形绿地，四周有小路，绿地长边外小路宽5米，短边外小路宽8米，绿地长边至多长28米，至少长20米，对于给定的a（300≤a≤700），怎样设计绿地的长宽使绿地和小路总占地面积最小？

　　［解析］先由题设求出目标函数，然后由均值不等式及函数的单调性再探求它何时取最小值．

　　如果在它的定义域内不具备运用均值不等式的条件，则可讨论其单调性，从而求其最值．事实上，f（x）在（0，a）上是减函数，在［a，＋∞］上是增函数，这一结论对求与本例类似的问题大有帮助。